Desenhe passo a passo o diagrama de bode para as seguintes funções de transferência: \mathrm{I}(\mathrm{s})=\frac{10(j \omega+3)}{(j \omega+2)\left[(j \omega)^{2}+j \omega+2\right]}
Passo 1
O enunciado pede: desenhar o diagrama de Bode (magnitude e fase) passo a passo para a função de transferência dada. As informações fornecidas são:
A função de transferência em regime senoidal, com s=j\omega.
Numerador: fator (j\omega+3) (zero em s=-3).
Denominador: fator (j\omega+2) (polo real em s=-2) e fator (j\omega)^{2}+j\omega+2 (par de polos complexos).
O objetivo: construir, com explicações didáticas e passo a passo, o diagrama de Bode (magnitude em dB e fase em graus) e indicar como desenhar as assíntotas e pontos chave.
Passo 2
Reescrevendo a função em s (mais conveniente para análise):
Zero real: s=-3 (frequência de canto \omega_z=3 rad/s).
Polo real: s=-2 (frequência de canto \omega_{p1}=2 rad/s).
Polos complexos: raízes de s^{2}+s+2=0. Vamos extrair a frequência natural \omega_n e o fator de amortecimento \zeta.
Colocando s^{2}+s+2 na forma padrão s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2} obtemos:
Fase (graus): soma algébrica dos argumentos dos fatores (ângulo do numerador menos ângulo dos polos).
Regras de construção assintótica de Bode:
Um ganho constante K adiciona 20\log_{10}K dB e 0^\circ.
Um zero simples em -a (fator s+a) aumenta a inclinação em +20 dB/década a partir de \omega=a e adiciona +90^\circ de fase gradualmente (entre uma década abaixo e uma década acima de a).
Um polo simples em -a (fator s+a) diminui a inclinação em -20 dB/década a partir de \omega=a e adiciona -90^\circ de fase gradualmente.
Um par de polos complexos de segunda ordem (frequência natural \omega_n, amortecimento \zeta) contribui com -40 dB/década para \omega\gg\omega_n e com -180^\circ de fase total (transição entre ~0^\circ e -180^\circ centrada em \omega_n). Se \zeta for pequeno pode haver pico de ressonância próximo de \omega_n.
Ordem crescente: 1{,}414 < 2 < 3. Essas serão as frequências onde as inclinações mudam.
Passo 6
Construção assintótica da magnitude (esquemática):
Para \omega<1{,}414: inclinação 0 dB/década, nível \approx17{,}50 dB.
Em \omega=1{,}414 entra o par de polos complexos: inclinação passa a -40 dB/década.
Em \omega=2 entra mais um polo real: inclinação passa a -40-20=-60 dB/década.
Em \omega=3 entra o zero: inclinação passa a -60+20=-40 dB/década para \omega>3.
Observação prática: nas proximidades de cada canto deve-se “arredondar” as transições, não traçar quebras instantâneas — mas para o esboço assintótico usamos linhas retas com essas inclinações.
Passo 7
Calcular alguns pontos numéricos (módulo e fase) em frequências-chaves para plotar pontos reais e comparar com as assíntotas. Usamos as fórmulas do Passo 3.
Como desenhar o diagrama de magnitude (passo a passo prático):
No eixo logarítmico de frequência, marque \omega=1{,}414,\\\ 2,\\\ 3.
Desenhe uma linha horizontal em 17{,}50 dB para \omega<1{,}414.
Em \omega=1{,}414 faça a mudança de inclinação: a partir daí a inclinação assintótica passa a -40 dB/década (par de polos).
Em \omega=2 diminua mais a inclinação em -20 dB/década (total -60 dB/década para 2\lesssim\omega\lesssim3).
Em \omega=3 aumente a inclinação em +20 dB/década (por causa do zero), resultando em -40 dB/década para \omega>3.
Trace as linhas assintóticas e, em seguida, passe uma curva suave próxima a essas assíntotas, passando pelos pontos exatos calculados:
\omega=1{,}414:\\\ 19{,}61\\ \text{dB},
\omega=2:\\\ 13{,}07\\ \text{dB},
\omega=3:\\\ 3{,}77\\ \text{dB},
\omega=10:\\\ -19{,}66\\ \text{dB}.
Observe que há um pequeno pico devido ao par de polos com \zeta\approx0{,}3536; o pico real aparece perto de \omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^{2}} (se desejar calcular com precisão).
Passo 9
Como desenhar o diagrama de fase (passo a passo prático):
Para cada fator, anote a transição típica:
Zero em 3: fase sobe de 0^\circ para +90^\circ entre \approx0{,}3 e \approx30 rad/s (uma década abaixo até uma década acima do canto).
Polo em 2: fase vai de 0^\circ para -90^\circ entre \approx0{,}2 e \approx20 rad/s.
Par de polos em 1{,}414: fase vai de 0^\circ para -180^\circ aproximadamente entre \approx0{,}141 e \approx14{,}14 rad/s (uma década abaixo/uma acima de \omega_n), a transição está centrada em \omega_n.
Some as contribuições (zero positivo, polos negativos) em cada região para obter a fase total.
Trace a curva de fase suave que passe pelos valores calculados:
\Phi(1{,}414)\approx-100^\circ,
\Phi(2)\approx-146{,}31^\circ,
\Phi(3)\approx-168{,}11^\circ,
\Phi(10)\approx-179{,}55^\circ.
No limite \omega\to\infty a fase tende a:
+90^\circ\\ (\text{zero})\;-\;90^\circ\\ (\text{polo em 2})\;-\;180^\circ\\ (\text{par de polos})=-180^\circ.
Passo 10
Dicas finais para o esboço prático:
Use escala logaritmica no eixo horizontal (por exemplo, décadas: 0{,}1,\\\ 1,\\\ 10).
Marque os pontos exatos calculados para guiar a curva real.
Desenhe as assíntotas (linhas retas) primeiro, depois ajuste a curva real passando suavemente por elas e pelos pontos exatos.
Rotule claramente eixo das frequências (rad/s), eixo da magnitude (dB) e eixo de fase (graus).
Se quiser mais precisão, calcule pontos adicionais (por exemplo \omega=0{,}1,\\\ 0{,}5,\\\ 5) e reúna-os no gráfico.
Resposta
Ganho DC: 20\log_{10}(7{,}5)\approx17{,}50\\ \text{dB}.
Pontos de canto: \omega_{n}=\sqrt{2}\approx1{,}414,\\ \omega_{p1}=2,\\ \omega_{z}=3.
Módulos nos pontos-chave: \omega=1{,}414:\\\ 19{,}61\\ \text{dB} \omega=2:\\\ 13{,}07\\ \text{dB} \omega=3:\\\ 3{,}77\\ \text{dB} \omega=10:\\\ -19{,}66\\ \text{dB}.
Fases nos pontos-chave: \Phi(1{,}414)\approx-100^\circ \Phi(2)\approx-146{,}31^\circ \Phi(3)\approx-168{,}11^\circ \Phi(10)\approx-179{,}55^\circ.