Desenhe passo a passo o diagrama de bode para as seguintes funções de transferência:
\mathrm{I}(\mathrm{s})=\frac{10(j \omega+3)}{(j \omega+2)\left[(j \omega)^{2}+j \omega+2\right]}

Passo 1

O enunciado pede: desenhar o diagrama de Bode (magnitude e fase) passo a passo para a função de transferência dada. As informações fornecidas são:
\mathrm{I}(\mathrm{s})=\frac{10(j \omega+3)}{(j \omega+2)\left[(j \omega)^{2}+j \omega+2\right]}
Lista explícita do que foi dado:
  • A função de transferência em regime senoidal, com s=j\omega.
  • Numerador: fator (j\omega+3) (zero em s=-3).
  • Denominador: fator (j\omega+2) (polo real em s=-2) e fator (j\omega)^{2}+j\omega+2 (par de polos complexos).
    O objetivo: construir, com explicações didáticas e passo a passo, o diagrama de Bode (magnitude em dB e fase em graus) e indicar como desenhar as assíntotas e pontos chave.

Passo 2

Reescrevendo a função em s (mais conveniente para análise):
\mathrm{I}(s)=\frac{10(s+3)}{(s+2)(s^{2}+s+2)},\qquad s=j\omega.
Identificação dos polos e zeros:
  • Zero real: s=-3 (frequência de canto \omega_z=3 rad/s).
  • Polo real: s=-2 (frequência de canto \omega_{p1}=2 rad/s).
  • Polos complexos: raízes de s^{2}+s+2=0. Vamos extrair a frequência natural \omega_n e o fator de amortecimento \zeta.
    Colocando s^{2}+s+2 na forma padrão s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2} obtemos:
\omega_n^{2}=2 \implies \omega_n=\sqrt{2}\approx1{,}4142,
2\zeta\omega_n=1 \implies \zeta=\frac{1}{2\omega_n}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\approx0{,}3536.
Portanto o par de polos complexos tem \omega_n\approx1{,}414 rad/s e \zeta\approx0{,}3536. Esse par gera um canto em \omega\approx1{,}414 rad/s.

Passo 3

Breve revisão pedagógica (fórmulas e regras que vamos usar):
  • Magnitude em dB:
\text{Magnitude (dB)}=20\log_{10}\bigl|\mathrm{I}(j\omega)\bigr|.
  • Fase (graus): soma algébrica dos argumentos dos fatores (ângulo do numerador menos ângulo dos polos).
  • Regras de construção assintótica de Bode:
    • Um ganho constante K adiciona 20\log_{10}K dB e 0^\circ.
    • Um zero simples em -a (fator s+a) aumenta a inclinação em +20 dB/década a partir de \omega=a e adiciona +90^\circ de fase gradualmente (entre uma década abaixo e uma década acima de a).
    • Um polo simples em -a (fator s+a) diminui a inclinação em -20 dB/década a partir de \omega=a e adiciona -90^\circ de fase gradualmente.
    • Um par de polos complexos de segunda ordem (frequência natural \omega_n, amortecimento \zeta) contribui com -40 dB/década para \omega\gg\omega_n e com -180^\circ de fase total (transição entre ~ 0^\circ e -180^\circ centrada em \omega_n). Se \zeta for pequeno pode haver pico de ressonância próximo de \omega_n.
  • Fórmulas úteis para módulos:
|j\omega + a|=\sqrt{\omega^{2}+a^{2}},
\bigl|(j\omega)^{2}+j\omega+2\bigr|=\sqrt{(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}}.

Passo 4

Calcular o ganho em baixa frequência (DC, \omega\to0) — ponto de partida do diagrama de magnitude:
\mathrm{I}(0)=\frac{10(0+3)}{(0+2)(0+0+2)}=\frac{30}{4}=7{,}5.
Em dB:
20\log_{10}(7{,}5)\approx20\cdot0{,}87506\approx17{,}50\\ \text{dB}.
Fase em \omega\to0: todos os termos são positivos reais, logo ângulo aproximado 0^\circ.
Resumo inicial: magnitude plana em \approx17{,}50 dB até o primeiro canto (o par complexo em \omega\approx1{,}414 rad/s).

Passo 5

Marcar as frequências de canto e a sua ordem:
\omega_{n}=\sqrt{2}\approx1{,}414,\quad \omega_{p1}=2,\quad \omega_{z}=3.
Ordem crescente: 1{,}414 < 2 < 3. Essas serão as frequências onde as inclinações mudam.

Passo 6

Construção assintótica da magnitude (esquemática):
  • Para \omega<1{,}414: inclinação 0 dB/década, nível \approx17{,}50 dB.
  • Em \omega=1{,}414 entra o par de polos complexos: inclinação passa a -40 dB/década.
  • Em \omega=2 entra mais um polo real: inclinação passa a -40-20=-60 dB/década.
  • Em \omega=3 entra o zero: inclinação passa a -60+20=-40 dB/década para \omega>3.
    Observação prática: nas proximidades de cada canto deve-se “arredondar” as transições, não traçar quebras instantâneas — mas para o esboço assintótico usamos linhas retas com essas inclinações.

Passo 7

Calcular alguns pontos numéricos (módulo e fase) em frequências-chaves para plotar pontos reais e comparar com as assíntotas. Usamos as fórmulas do Passo 3.
Fórmula para módulo:
\bigl|\mathrm{I}(j\omega)\bigr| =10\frac{\sqrt{\omega^{2}+3^{2}}}{\sqrt{\omega^{2}+2^{2}}\;\sqrt{(2-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}}^{\,1/2}}.
Vamos calcular em \omega=1{,}414,\;2,\;3,\;10.
  1. \omega=1{,}414 (aqui \omega^{2}=2, portanto (2-\omega^{2})=0, simplifica a conta):
\text{numerador}=\sqrt{2+9}=\sqrt{11}\approx3{,}3166,
|j\omega+2|=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}\approx2{,}4495,
\bigl|(j\omega)^{2}+j\omega+2\bigr|=\sqrt{0^{2}+\omega^{2}}=\sqrt{2}\approx1{,}4142.
Produto do denominador \approx2{,}4495\cdot1{,}4142\approx3{,}4641.
\bigl|\mathrm{I}(j1{,}414)\bigr|\approx10\cdot\frac{3{,}3166}{3{,}4641}\approx9{,}5743.
Em dB:
20\log_{10}(9{,}5743)\approx19{,}61\\ \text{dB}.
Fase em \omega=1{,}414:
\angle(j\omega+3)=\arctan\!\left(\frac{1{,}414}{3}\right)\approx25{,}3^\circ,
\angle(j\omega+2)=\arctan\!\left(\frac{1{,}414}{2}\right)\approx35{,}26^\circ,
\angle((j\omega)^{2}+j\omega+2)=90^\circ\\ \text{(pois a parte real é zero e parte imaginária positiva)}.éá
Total da fase:
\Phi(1{,}414)\approx25{,}3^\circ-35{,}26^\circ-90^\circ\approx-100^\circ.
  1. \omega=2:
\text{numerador}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\approx3{,}6056,
|j\omega+2|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\approx2{,}8284,
\bigl|(j\omega)^{2}+j\omega+2\bigr|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}\approx2{,}8284.
Denominador total \approx2{,}8284\cdot2{,}8284=8.
\bigl|\mathrm{I}(j2)\bigr|\approx10\cdot\frac{3{,}6056}{8}\approx4{,}5069,
20\log_{10}(4{,}5069)\approx13{,}07\\ \text{dB}.
Fase em \omega=2:
\angle(j\omega+3)=\arctan\!\left(\frac{2}{3}\right)\approx33{,}69^\circ,
\angle(j\omega+2)=\arctan\!\left(\frac{2}{2}\right)=45^\circ,
\text{para o quadrático: real}=2-\omega^{2}=-2\\ (\text{negativo}),\\ \text{im}=2,á
\angle(\text{quadrático})=\arctan\!\left(\frac{2}{-2}\right) \text{ ajustado }=135^\circ.á
Total da fase:
\Phi(2)\approx33{,}69^\circ-45^\circ-135^\circ\approx-146{,}31^\circ.
  1. \omega=3:
\text{numerador}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\approx4{,}2426,
|j\omega+2|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx3{,}6056,
\bigl|(j\omega)^{2}+j\omega+2\bigr|=\sqrt{(-7)^{2}+3^{2}}=\sqrt{58}\approx7{,}6158.
Denominador \approx3{,}6056\cdot7{,}6158\approx27{,}477.
\bigl|\mathrm{I}(j3)\bigr|\approx10\cdot\frac{4{,}2426}{27{,}477}\approx1{,}5445,
20\log_{10}(1{,}5445)\approx3{,}77\\ \text{dB}.
Fase em \omega=3:
\angle(j\omega+3)=\arctan\!\left(\frac{3}{3}\right)=45^\circ,
\angle(j\omega+2)=\arctan\!\left(\frac{3}{2}\right)\approx56{,}31^\circ,
\angle(\text{quadrático})=\arctan\!\left(\frac{3}{-7}\right)\\ \text{ajustado}\approx156{,}8^\circ.á
Total da fase:
\Phi(3)\approx45^\circ-56{,}31^\circ-156{,}8^\circ\approx-168{,}11^\circ.
  1. \omega=10 (para ver o comportamento em alta frequência):
\text{numerador}\approx\sqrt{100+9}\approx10{,}4403,
|j\omega+2|\approx\sqrt{100+4}\approx10{,}1984,
\bigl|(j\omega)^{2}+j\omega+2\bigr|\approx\sqrt{(-98)^{2}+10^{2}}\approx98{,}5076.
Denominador \approx10{,}1984\cdot98{,}5076\approx1004{,}8.
\bigl|\mathrm{I}(j10)\bigr|\approx10\cdot\frac{10{,}4403}{1004{,}8}\approx0{,}1039,
20\log_{10}(0{,}1039)\approx-19{,}66\\ \text{dB}.
Fase em \omega=10:
\angle(j\omega+3)=\arctan\!\left(\frac{10}{3}\right)\approx73{,}3^\circ,
\angle(j\omega+2)=\arctan\!\left(\frac{10}{2}\right)\approx78{,}69^\circ,
\angle(\text{quadrático})\approx174{,}16^\circ\\ (\text{real negativa, imag positiva}).á
Total da fase:
\Phi(10)\approx73{,}3^\circ-78{,}69^\circ-174{,}16^\circ\approx-179{,}55^\circ\\ (\approx-180^\circ).

Passo 8

Como desenhar o diagrama de magnitude (passo a passo prático):
  1. No eixo logarítmico de frequência, marque \omega=1{,}414,\\\ 2,\\\ 3.
  2. Desenhe uma linha horizontal em 17{,}50 dB para \omega<1{,}414.
  3. Em \omega=1{,}414 faça a mudança de inclinação: a partir daí a inclinação assintótica passa a -40 dB/década (par de polos).
  4. Em \omega=2 diminua mais a inclinação em -20 dB/década (total -60 dB/década para 2\lesssim\omega\lesssim3).
  5. Em \omega=3 aumente a inclinação em +20 dB/década (por causa do zero), resultando em -40 dB/década para \omega>3.
  6. Trace as linhas assintóticas e, em seguida, passe uma curva suave próxima a essas assíntotas, passando pelos pontos exatos calculados:
    • \omega=1{,}414:\\\ 19{,}61\\ \text{dB},
    • \omega=2:\\\ 13{,}07\\ \text{dB},
    • \omega=3:\\\ 3{,}77\\ \text{dB},
    • \omega=10:\\\ -19{,}66\\ \text{dB}.
  7. Observe que há um pequeno pico devido ao par de polos com \zeta\approx0{,}3536; o pico real aparece perto de \omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^{2}} (se desejar calcular com precisão).

Passo 9

Como desenhar o diagrama de fase (passo a passo prático):
  1. Para cada fator, anote a transição típica:
    • Zero em 3: fase sobe de 0^\circ para +90^\circ entre \approx0{,}3 e \approx30 rad/s (uma década abaixo até uma década acima do canto).
    • Polo em 2: fase vai de 0^\circ para -90^\circ entre \approx0{,}2 e \approx20 rad/s.
    • Par de polos em 1{,}414: fase vai de 0^\circ para -180^\circ aproximadamente entre \approx0{,}141 e \approx14{,}14 rad/s (uma década abaixo/uma acima de \omega_n), a transição está centrada em \omega_n.
  2. Some as contribuições (zero positivo, polos negativos) em cada região para obter a fase total.
  3. Trace a curva de fase suave que passe pelos valores calculados:
    • \Phi(1{,}414)\approx-100^\circ,
    • \Phi(2)\approx-146{,}31^\circ,
    • \Phi(3)\approx-168{,}11^\circ,
    • \Phi(10)\approx-179{,}55^\circ.
  4. No limite \omega\to\infty a fase tende a:
+90^\circ\\ (\text{zero})\;-\;90^\circ\\ (\text{polo em 2})\;-\;180^\circ\\ (\text{par de polos})=-180^\circ.

Passo 10

Dicas finais para o esboço prático:
  • Use escala logaritmica no eixo horizontal (por exemplo, décadas: 0{,}1,\\\ 1,\\\ 10).
  • Marque os pontos exatos calculados para guiar a curva real.
  • Desenhe as assíntotas (linhas retas) primeiro, depois ajuste a curva real passando suavemente por elas e pelos pontos exatos.
  • Rotule claramente eixo das frequências (rad/s), eixo da magnitude (dB) e eixo de fase (graus).
  • Se quiser mais precisão, calcule pontos adicionais (por exemplo \omega=0{,}1,\\\ 0{,}5,\\\ 5) e reúna-os no gráfico.

Resposta

Ganho DC: 20\log_{10}(7{,}5)\approx17{,}50\\ \text{dB}.
Pontos de canto: \omega_{n}=\sqrt{2}\approx1{,}414,\\ \omega_{p1}=2,\\ \omega_{z}=3.
Módulos nos pontos-chave:
\omega=1{,}414:\\\ 19{,}61\\ \text{dB}
\omega=2:\\\ 13{,}07\\ \text{dB}
\omega=3:\\\ 3{,}77\\ \text{dB}
\omega=10:\\\ -19{,}66\\ \text{dB}.
Fases nos pontos-chave:
\Phi(1{,}414)\approx-100^\circ
\Phi(2)\approx-146{,}31^\circ
\Phi(3)\approx-168{,}11^\circ
\Phi(10)\approx-179{,}55^\circ.

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