(Valor 20 \% ) Em uma Bacia hidrográfica com 2000 \mathrm{~km}^{2} ocorreu uma precipitação com intensidade de 5 \mathrm{mm} / \mathrm{h} durante 15 horas, esta precipitação gerou o hidrograma apresentado sob a forma de tabela (abaixo). Calcule a o volume escoado, a precipitação efetiva e o coeficiente de escoamento superficial interpretando-o.
Tempo (h) Q ( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) K Qb ( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) QESD ( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} )
0 42,5
12 41,0
24 87,8
36 271,8
48 342,6
60 288,8
72 240,7
84 198,2
96 161,4
108 133,1
120 110,4
132 90,6
144 79,3
156 68,0

Passo 1

O enunciado pede três coisas: o volume escoado (volume do escoamento direto gerado pela chuva), a precipitação efetiva (chuva convertida em escoamento, em mm) e o coeficiente de escoamento superficial (razão entre precipitação efetiva e precipitação total).\n
Dados fornecidos importantes:
  • Área da bacia: 2000\\ \mathrm{km}^2.
  • Intensidade da chuva: 5\\ \mathrm{mm/h} por 15\\ \mathrm{h}.
  • Hidrograma (descartando colunas vazias da tabela, temos os pares tempo — vazão medida Q):

    t=0\\ \mathrm{h},\\ Q=42{,}5\\ \mathrm{m^3/s}
    t=12\\ \mathrm{h},\\ Q=41{,}0\\ \mathrm{m^3/s}
    t=24\\ \mathrm{h},\\ Q=87{,}8\\ \mathrm{m^3/s}
    t=36\\ \mathrm{h},\\ Q=271{,}8\\ \mathrm{m^3/s}
    t=48\\ \mathrm{h},\\ Q=342{,}6\\ \mathrm{m^3/s}
    t=60\\ \mathrm{h},\\ Q=288{,}8\\ \mathrm{m^3/s}
    t=72\\ \mathrm{h},\\ Q=240{,}7\\ \mathrm{m^3/s}
    t=84\\ \mathrm{h},\\ Q=198{,}2\\ \mathrm{m^3/s}
    t=96\\ \mathrm{h},\\ Q=161{,}4\\ \mathrm{m^3/s}
    t=108\\ \mathrm{h},\\ Q=133{,}1\\ \mathrm{m^3/s}
    t=120\\ \mathrm{h},\\ Q=110{,}4\\ \mathrm{m^3/s}
    t=132\\ \mathrm{h},\\ Q=90{,}6\\ \mathrm{m^3/s}
    t=144\\ \mathrm{h},\\ Q=79{,}3\\ \mathrm{m^3/s}
    t=156\\ \mathrm{h},\\ Q=68{,}0\\ \mathrm{m^3/s}\n
    Nada mais é pedido; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e por que usar isso):\n
  • Para obter o volume de escoamento direto devemos separar o escoamento base (baseflow) do escoamento direto provocado pela chuva. Uma forma simples e muito usada em exercícios é traçar a linha de base conectando a vazão inicial (no início do evento) com a vazão final (quando o hidrograma voltou a valores próximos do pré-evento) e subtrair essa linha do hidrograma observado. Essa linha é o fluxo de base estimado Q_b(t).\n
  • Justificativa: o enunciado deu vazões em t=0 e t=156\\ \mathrm{h} antes/depois do evento; ligar esses pontos com uma reta é um método prático e suficiente para a prova. Observação prática: quando a diferença Q(t)-Q_b(t) for negativa, isso significa que a reta de base está acima da vazão observada — neste caso interpretamos o componente direto como zero (não admitimos escoamento direto negativo).\n
  • Procedimento que vou usar: (i) calcular a reta de base Q_b(t) ligando Q(0)=42{,}5 a Q(156)=68{,}0; (ii) calcular Q_{esd}(t)=\max\{0,\\ Q(t)-Q_b(t)\} (escoamento direto instantâneo); (iii) integrar Q_{esd}(t) no tempo com a regra trapezoidal (cada intervalo é 12\\ \mathrm{h}) para obter o volume total escoado.

Passo 3

Calcular a precipitação total e o volume de chuva (checagem e referência):\n
  • Profundidade total de chuva: \text{intensidade}\times\text{duração}=5\\ \mathrm{mm/h}\times15\\ \mathrm{h}=75\\ \mathrm{mm}.çã Em metros: \;75\\ \mathrm{mm}=0{,}075\\ \mathrm{m}.\n
  • Área da bacia em metros quadrados: 2000\\ \mathrm{km}^2 = 2000\times10^6\\ \mathrm{m}^2 = 2{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{m}^2.\n
  • Volume total de chuva sobre a bacia:
V_{\text{chuva}} = \text{área}\times\text{profundidade} = 2{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{m}^2 \times 0{,}075\\ \mathrm{m} = 1{,}50\times10^{8}\\ \mathrm{m}^3.á

Passo 4

Construção da linha de base Q_b(t) e cálculo de Q_{esd}(t) em cada instante (detalhado):\n
  • A reta entre t=0 e t=156 tem declive
s=\frac{Q(156)-Q(0)}{156-0}=\frac{68{,}0-42{,}5}{156}= \frac{25{,}5}{156}=0{,}163461538\\ \left(\mathrm{m^3/s\; por\; hora}\right).
  • Fórmula da base em função do tempo t (horas):
Q_b(t)=Q(0)+s\cdot t = 42{,}5 + 0{,}163461538\cdot t.
  • Calculamos também K=t/156 (fração do intervalo) apenas para referência. Para cada tempo da tabela calculamos Q_b e depois
Q_{esd}(t)=\max\{0,\\ Q(t)-Q_b(t)\}.
  • Valores (apresento t, K, Q_b(t) e Q_{esd}(t); todos em unidades \mathrm{h} e \mathrm{m^3/s}):
t=0: K=0{,}000, Q_b=42{,}5, Q_{esd}=0.\n
t=12: K=0{,}0769, Q_b=44{,}461538, Q_{esd}=0 (porque 41{,}0-44{,}46<0).\n
t=24: K=0{,}1538, Q_b=46{,}423077, Q_{esd}=87{,}8-46{,}423077=41{,}376923.\n
t=36: K=0{,}2308, Q_b=48{,}384615, Q_{esd}=271{,}8-48{,}384615=223{,}415385.\n
t=48: K=0{,}3077, Q_b=50{,}346154, Q_{esd}=342{,}6-50{,}346154=292{,}253846.\n
t=60: K=0{,}3846, Q_b=52{,}307692, Q_{esd}=288{,}8-52{,}307692=236{,}492308.\n
t=72: K=0{,}4615, Q_b=54{,}269231, Q_{esd}=240{,}7-54{,}269231=186{,}430769.\n
t=84: K=0{,}5385, Q_b=56{,}230769, Q_{esd}=198{,}2-56{,}230769=141{,}969231.\n
t=96: K=0{,}6154, Q_b=58{,}192308, Q_{esd}=161{,}4-58{,}192308=103{,}207692.\n
t=108: K=0{,}6923, Q_b=60{,}153846, Q_{esd}=133{,}1-60{,}153846=72{,}946154.\n
t=120: K=0{,}7692, Q_b=62{,}115385, Q_{esd}=110{,}4-62{,}115385=48{,}284615.\n
t=132: K=0{,}8462, Q_b=64{,}076923, Q_{esd}=90{,}6-64{,}076923=26{,}523077.\n
t=144: K=0{,}9231, Q_b=66{,}038462, Q_{esd}=79{,}3-66{,}038462=13{,}261538.\n
t=156: K=1{,}000, Q_b=68{,}0, Q_{esd}=0.\n
Observação: em t=12 a linha de base ficou acima da vazão observada; interpretamos isso como ausência de escoamento direto naquele instante ( Q_{esd}=0).

Passo 5

Integração do hidrograma de escoamento direto para obter o volume total (procedimento e contas):\n
  • Regra trapezoidal discreta (passo de tempo constante \Delta t):
V = \Delta t \left(\frac{Q_{esd,0}}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} Q_{esd,i} + \frac{Q_{esd,n}}{2}\right),
onde \Delta t é o intervalo de amostragem em segundos e Q_{esd,i} são os valores no tempo t_i.\n
  • Aqui \Delta t = 12\\ \mathrm{h} = 12\times3600\\ \mathrm{s} = 43\,200\\ \mathrm{s}.\n
  • Somando os Q_{esd} internos (valores positivos calculados no Passo 4):
\sum_{\text{interno}} Q_{esd} = 41{,}376923 + 223{,}415385 + 292{,}253846 + 236{,}492308 + 186{,}430769
\quad +141{,}969231 +103{,}207692 +72{,}946154 +48{,}284615 +26{,}523077 +13{,}261538 =1386{,}161538\\ \mathrm{m^3/s}.
(Os termos em t=0,12,156 são zeros em weighting final.)\n
  • Aplicando a fórmula:
V = 43\,200\\ \mathrm{s}\times 1386{,}161538\\ \mathrm{m^3/s} = 5{,}988217846\times10^{7}\\ \mathrm{m^3}.
Arredondando convenientemente: V \approx 5{,}99\times10^{7}\\ \mathrm{m^3}.

Passo 6

Calcular a precipitação efetiva (profundidade equivalente) a partir do volume escoado:\n
  • Profundidade efetiva em metros:
P_{\text{ef}} = \frac{V}{\text{área}} = \frac{5{,}988217846\times10^{7}\\ \mathrm{m^3}}{2{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{m^2}} = 0{,}029941089\\ \mathrm{m}.á
  • Em milímetros: P_{\text{ef}} = 0{,}029941089\\ \mathrm{m}\times1000 = 29{,}94\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Calcular o coeficiente de escoamento superficial e interpretar:\n
  • Coeficiente:
C = \frac{P_{\text{ef}}}{P_{\text{total}}} = \frac{29{,}94\\ \mathrm{mm}}{75\\ \mathrm{mm}} = 0{,}3992\approx0{,}40.
  • Interpretação: aproximadamente 40\% da chuva total de 75\\ \mathrm{mm} se transformou em escoamento superficial registrado no hidrograma. O restante ( \sim60\%) foi retido, infiltrou-se, evaporou ou ficou em armazenamento temporário. Nota sobre precisão: esse valor depende da hipótese da linha de base linear e da regra de zerar diferenças negativas — portanto é uma estimativa integrada, mas adequada para prova/exercício.

Resposta

V=5{,}988\times10^{7}\\ \mathrm{m^3}\n
P_{\text{ef}}=29{,}94\\ \mathrm{mm}\n
C=0{,}399\\ (\approx0{,}40)

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