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QUESTÃO (2,0 PONTOS): A expressão para a tensão em um indutor de
é fornecida a seguir. Qual é a expressão senoidal para a corrente?
Passo 1
O enunciado fornece a tensão no indutor e pede a corrente. Dados e pedido:
Pergunta: qual é a expressão senoidal para a corrente
(outra forma equivalente também vale).
Passo 2
Conceito fundamental que precisamos usar: a relação tensão-corrente de um indutor.
Explicação do que cada símbolo significa:
-
é a tensão instantânea no indutor (em volts). -
é a indutância (em henries). -
é a corrente instantânea (em amperes). -
é a derivada temporal da corrente (taxa de variação da corrente).
Essa fórmula diz que a tensão no indutor é proporcional à velocidade com que a corrente muda no tempo. É a base para achar
: vamos integrar essa equação.
Passo 3
Substituímos os valores dados na equação diferencial:
Aqui usei
e
.
Passo 4
Isolamos
e integramos para obter
.
Agora integramos em relação a
. Lembrete de integração:
, onde
é constante de integração e
é a frequência angular.
Simplificando o coeficiente:
Passo 5
Interpretação da constante
: é a corrente inicial (combinada com transientes) que depende da condição inicial do circuito. O enunciado não dá condição inicial, e em provas costuma-se pedir a solução senoidal de regime permanente (estado estacionário), ou seja, desprezamos o termo de constante que representaria parte não senoidal ou transiente que se apagaria se houvesse alguma resistência no circuito real. Portanto tomamos
para obter a corrente puramente senoidal no regime permanente.
Passo 6
Assim, a corrente no regime permanente é
Queremos uma forma em seno (mais comum em problemas de regime senoidal). Usando a identidade trigonométrica
temos
Explicação: a amplitude é
e a corrente atrasa a tensão de
(ou
rad), por isso o
.