2 { }^{\text {a }} QUESTÃO (2,0 PONTOS): A expressão para a tensão em um indutor de 0,5 \mathrm{H} é fornecida a seguir. Qual é a expressão senoidal para a corrente?
v=100 \operatorname{sen} 20 t

Passo 1

O enunciado fornece a tensão no indutor e pede a corrente. Dados e pedido:
v(t)=100\operatorname{sen} 20t
L=0,5\\ \mathrm{H}
Pergunta: qual é a expressão senoidal para a corrente i(t) (outra forma equivalente também vale).

Passo 2

Conceito fundamental que precisamos usar: a relação tensão-corrente de um indutor.
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt}
Explicação do que cada símbolo significa:
  • v(t) é a tensão instantânea no indutor (em volts).
  • L é a indutância (em henries).
  • i(t) é a corrente instantânea (em amperes).
  • \dfrac{di(t)}{dt} é a derivada temporal da corrente (taxa de variação da corrente).
Essa fórmula diz que a tensão no indutor é proporcional à velocidade com que a corrente muda no tempo. É a base para achar i(t): vamos integrar essa equação.

Passo 3

Substituímos os valores dados na equação diferencial:
0,5\\ \frac{di(t)}{dt}=100\operatorname{sen} 20t.
Aqui usei L=0,5 e v(t)=100\operatorname{sen} 20t.

Passo 4

Isolamos \dfrac{di}{dt} e integramos para obter i(t).
\frac{di(t)}{dt}=\frac{100}{0,5}\operatorname{sen} 20t=200\operatorname{sen} 20t.
Agora integramos em relação a t. Lembrete de integração: \displaystyle\int \operatorname{sen}(\omega t)\,dt=-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t)+C, onde C é constante de integração e \omega é a frequência angular.
i(t)=\int 200\operatorname{sen} 20t\,dt=200\left(-\frac{1}{20}\cos 20t\right)+C.
Simplificando o coeficiente:
i(t)=-10\cos 20t + C.

Passo 5

Interpretação da constante C: é a corrente inicial (combinada com transientes) que depende da condição inicial do circuito. O enunciado não dá condição inicial, e em provas costuma-se pedir a solução senoidal de regime permanente (estado estacionário), ou seja, desprezamos o termo de constante que representaria parte não senoidal ou transiente que se apagaria se houvesse alguma resistência no circuito real. Portanto tomamos C=0 para obter a corrente puramente senoidal no regime permanente.

Passo 6

Assim, a corrente no regime permanente é
i(t)=-10\cos 20t\\ \mathrm{A}.
Queremos uma forma em seno (mais comum em problemas de regime senoidal). Usando a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\cos\theta,
temos
i(t)=10\operatorname{sen}\!\bigl(20t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \mathrm{A}.
Explicação: a amplitude é \dfrac{V_m}{\omega L}=\dfrac{100}{20\cdot 0,5}=10 e a corrente atrasa a tensão de 90^\circ (ou \tfrac{\pi}{2} rad), por isso o -\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

i(t)=-10\cos 20t\\ \mathrm{A}
i(t)=10\operatorname{sen}\!\bigl(20t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \mathrm{A}

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