Desenhe as regiões e calcule sua área:
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é o desafio aqui. A gente tem que desenhar a região definida por
e calcular a área dessa região. O conteúdo envolve funções, gráficos e cálculo de integrais para achar áreas. Vamos precisar entender como representar graficamente a função
e depois usar a integral para encontrar a área abaixo dela no intervalo especificado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função racional onde o numerador é uma constante (2) e o denominador é um polinômio de segundo grau
. Isso nos lembra das funções que têm uma forma de decaimento à medida que
aumenta.
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico dessa função para
. Quando
, temos
. Conforme
aumenta, o valor de
diminui porque o denominador fica maior. Ou seja, a curva começa em
e se aproxima de
à medida que
vai para o infinito.
Passo 4
Agora, vamos imaginar a região
. Ela está entre
(o eixo X) e a curva
, para
. Então, essa região está abaixo da curva e acima do eixo X, começando em
e se estendendo até
indo para o infinito.
Passo 5
Para calcular a área dessa região, vamos usar uma integral definida. A área
pode ser encontrada integrando a função
em relação a
desde
até
tendendo ao infinito:
Passo 6
Vamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de uma função da forma
é
. No nosso caso,
, então
.
Passo 7
Aplicando a fórmula, temos:
Passo 8
Agora, vamos calcular os limites. Quando
,
, e quando
,
. Então:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.