Desenhe as regiões e calcule sua área:
S = {(x, y) | 0 <= y <= 2/(x^2 + 9), x >= 0}

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é o desafio aqui. A gente tem que desenhar a região definida por e calcular a área dessa região. O conteúdo envolve funções, gráficos e cálculo de integrais para achar áreas. Vamos precisar entender como representar graficamente a função e depois usar a integral para encontrar a área abaixo dela no intervalo especificado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função racional onde o numerador é uma constante (2) e o denominador é um polinômio de segundo grau . Isso nos lembra das funções que têm uma forma de decaimento à medida que aumenta.

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico dessa função para . Quando , temos . Conforme aumenta, o valor de diminui porque o denominador fica maior. Ou seja, a curva começa em e se aproxima de à medida que vai para o infinito.

Passo 4

Agora, vamos imaginar a região . Ela está entre (o eixo X) e a curva , para . Então, essa região está abaixo da curva e acima do eixo X, começando em e se estendendo até indo para o infinito.

Passo 5

Para calcular a área dessa região, vamos usar uma integral definida. A área pode ser encontrada integrando a função em relação a desde até tendendo ao infinito:

Passo 6

Vamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de uma função da forma é . No nosso caso, , então .

Passo 7

Aplicando a fórmula, temos:

Passo 8

Agora, vamos calcular os limites. Quando , , e quando , . Então:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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