Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos ( a, b e c são reais positivos).
\log _{5}\left(\frac{a^{2} \sqrt{b}}{\sqrt[3]{c}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para “desenvolver, aplicando as propriedades dos logaritmos” a expressão
\log_{5}\!\left(\frac{a^{2}\sqrt{b}}{\sqrt[3]{c}}\right).
Informações fornecidas e perguntas implícitas:
  • a, b e c são números reais positivos (isso garante que os logaritmos estão definidos).
  • A tarefa é reescrever a expressão usando as propriedades dos logaritmos (isto é, transformá-la em soma/subtração de logaritmos simples e com coeficientes, se possível).
  • Não há valores numéricos; queremos a forma transformada em termos de \log_{5}a, \log_{5}b, \log_{5}c.

Passo 2

Primeiro, transforme raízes em potências fracionárias — isso facilita aplicar a regra de potência dos logaritmos:
\sqrt{b}=b^{1/2}, \qquad \sqrt[3]{c}=c^{1/3}.
Substituindo na expressão dada obtemos
\log_{5}\!\left(\frac{a^{2}\,b^{1/2}}{c^{1/3}}\right).

Passo 3

Vou lembrar as três propriedades de logaritmo que usaremos — explicando bem cada uma:
  • Produto vira soma:
\log_{k}(XY)=\log_{k}X+\log_{k}Y.
Aqui \log_{k} é o logaritmo de base k (com k>0 e k\neq1); X e Y são argumentos positivos.
  • Quociente vira diferença:
\log_{k}\!\left(\frac{X}{Y}\right)=\log_{k}X-\log_{k}Y.
  • Potência sai como coeficiente:
\log_{k}(X^{r})=r\log_{k}X,
onde r pode ser qualquer número real (aqui usamos r fracionário para raízes). Essas propriedades vêm da definição de logaritmo como inversa da exponenciação; por exemplo, \log_{k}(X^{r}) é o expoente que satisfaz k^{(\log_{k}(X^{r}))}=X^{r}, e como k^{r\log_{k}X}=(k^{\log_{k}X})^{r}=X^{r}, segue que \log_{k}(X^{r})=r\log_{k}X.

Passo 4

Aplique a propriedade do quociente (diferença) à expressão transformada em potências:
\log_{5}\!\left(\frac{a^{2}b^{1/2}}{c^{1/3}}\right) = \log_{5}\!\big(a^{2}b^{1/2}\big) - \log_{5}\!\big(c^{1/3}\big).

Passo 5

Agora aplique a propriedade do produto (soma) ao logaritmo do numerador:
\log_{5}\!\big(a^{2}b^{1/2}\big) = \log_{5}\!\big(a^{2}\big)+\log_{5}\!\big(b^{1/2}\big).
Juntando com o termo do denominador já separado:
\log_{5}\!\left(\frac{a^{2}b^{1/2}}{c^{1/3}}\right) = \log_{5}\!\big(a^{2}\big)+\log_{5}\!\big(b^{1/2}\big)-\log_{5}\!\big(c^{1/3}\big).

Passo 6

Aplique a regra da potência para tirar os expoentes como coeficientes:
\log_{5}\!\big(a^{2}\big)=2\log_{5}a, \qquad \log_{5}\!\big(b^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}\log_{5}b, \qquad \log_{5}\!\big(c^{1/3}\big)=\tfrac{1}{3}\log_{5}c.
Substituindo esses resultados na expressão anterior obtemos a forma desenvolvida:
2\log_{5}a+\tfrac{1}{2}\log_{5}b-\tfrac{1}{3}\log_{5}c.

Passo 7

Checagem rápida (intuitiva): se eu pegar valores concretos para a,b,c>0 — por exemplo a=5, b=25, c=125 — o resultado numérico deve coincidir em ambas as formas. Isto ajuda a confiar que a manipulação algébrica está correta. Além disso, lembrar que a condição a,b,c>0 é essencial para que todos os logaritmos façam sentido.

Resposta

2\log_{5}a+\tfrac{1}{2}\log_{5}b-\tfrac{1}{3}\log_{5}c

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