Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (
e
são reais positivos).
Passo 1
O enunciado pede para “desenvolver, aplicando as propriedades dos logaritmos” a expressão
Informações fornecidas e perguntas implícitas:
-
, e são números reais positivos (isso garante que os logaritmos estão definidos). - A tarefa é reescrever a expressão usando as propriedades dos logaritmos (isto é, transformá-la em soma/subtração de logaritmos simples e com coeficientes, se possível).
- Não há valores numéricos; queremos a forma transformada em termos de
, , .
Passo 2
Primeiro, transforme raízes em potências fracionárias — isso facilita aplicar a regra de potência dos logaritmos:
Substituindo na expressão dada obtemos
Passo 3
Vou lembrar as três propriedades de logaritmo que usaremos — explicando bem cada uma:
- Produto vira soma:
Aqui
é o logaritmo de base
(com
e
);
e
são argumentos positivos.
- Quociente vira diferença:
- Potência sai como coeficiente:
onde
pode ser qualquer número real (aqui usamos
fracionário para raízes). Essas propriedades vêm da definição de logaritmo como inversa da exponenciação; por exemplo,
é o expoente que satisfaz
, e como
, segue que
.
Passo 4
Aplique a propriedade do quociente (diferença) à expressão transformada em potências:
Passo 5
Agora aplique a propriedade do produto (soma) ao logaritmo do numerador:
Juntando com o termo do denominador já separado:
Passo 6
Aplique a regra da potência para tirar os expoentes como coeficientes:
Substituindo esses resultados na expressão anterior obtemos a forma desenvolvida:
Passo 7
Checagem rápida (intuitiva): se eu pegar valores concretos para
— por exemplo
,
,
— o resultado numérico deve coincidir em ambas as formas. Isto ajuda a confiar que a manipulação algébrica está correta. Além disso, lembrar que a condição
é essencial para que todos os logaritmos façam sentido.