Calcule pela definição os seguintes logaritmos:
9^{2-\log _{3} 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão abaixo:
9^{2-\log_{3}2}
Informações dadas: a base 9 e o termo que envolve logaritmo \log_{3}2. A tarefa é simplificar e avaliar essa expressão numérica.

Passo 2

Vamos olhar para a base 9. É útil reescrevê-la como potência de 3, porque o logaritmo tem base 3. Observação:
9 = 3^{2}.
Explicação didática: trocar bases para uma mesma base simplifica manipulações com potências e logaritmos. Aqui escolhemos 3 porque o logaritmo é \log_{3}.

Passo 3

Aplicamos a propriedade de potências (a^{b})^{c}=a^{bc}. Usando 9=(3^{2}) obtemos:
9^{2-\log_{3}2} = \bigl(3^{2}\bigr)^{\,2-\log_{3}2} = 3^{2\cdot\bigl(2-\log_{3}2\bigr)}.
Desenvolvendo o produto no expoente:
3^{2\cdot\bigl(2-\log_{3}2\bigr)} = 3^{4 - 2\log_{3}2}.

Passo 4

Agora usamos a propriedade do logaritmo que diz k\log_{b}A=\log_{b}A^{k}. Aplicando com k=2, b=3 e A=2:
2\log_{3}2 = \log_{3}2^{2} = \log_{3}4.
Portanto o expoente fica:
4 - 2\log_{3}2 = 4 - \log_{3}4.

Passo 5

Reescrevemos 3^{4 - \log_{3}4} como um produto de potências usando a^{x-y}=a^{x}\,a^{-y}:
3^{4 - \log_{3}4} = 3^{4}\cdot 3^{-\log_{3}4}.
E usamos a definição fundamental do logaritmo: b^{\log_{b}A}=A. Assim
3^{\log_{3}4} = 4,
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3^{-\log_{3}4} = \frac{1}{3^{\log_{3}4}} = \frac{1}{4}.

Passo 6

Calculamos 3^{4} e multiplicamos pelo fator obtido:
3^{4} = 81,
3^{4}\cdot 3^{-\log_{3}4} = 81\cdot\frac{1}{4} = \frac{81}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{81}{4}

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