2 - Desenvolva a expressão para a densidade planar, em termos do raio atômico, para o plano (0001) na estrutura HC. (1.0 pontos)
Solução:
D P_{(0001)}^{H C}=\frac{\text { número de círculos máximos seccionados pelo plano }(0001) \text { dentro da } C U}{\text { área } \text { seccionada pelo plano }(0001) \text { na } C U}úíáá
número de círculos máximos seccionados pelo plano (0001)=3
  • 6 átomos nos vértices, onde cada um contribui com 1 / 3 de circulo máximo;
  • 1 átomo no centro, que contribui com um círculo máximo.
    área do plano (0001)=6 \cdot \frac{(2 R)^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}=6 \cdot R^{2} \cdot \sqrt{3}
  • equivale a área de seis triângulos eqüiláteros de lado 2 R.
    D P_{(0001)}^{H C}=\frac{3}{6 \cdot R^{2} \cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{2 \cdot R^{2} \cdot \sqrt{3}}

Passo 1

O que o problema pede: desenvolver a expressão para a densidade planar do plano (0001) na estrutura hexagonal compacta (HC, HCP) em termos do raio atômico R.
Informações relevantes fornecidas ou implicadas pelo enunciado:
  • A densidade planar é definida como “número de círculos máximos seccionados pelo plano dentro da célula unitária” dividido pela “área seccionada do plano na célula unitária”.
  • Num corte máximo de uma esfera (átomo) pelo plano passa o plano pelo centro da esfera, gerando um círculo de raio igual ao raio atômico R.
  • Geometria do plano (0001) na HC: o corte na célula unitária forma um hexágono que pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros; os vértices do hexágono correspondem a átomos cujos centros estão na mesma camada, e há um átomo no centro da hexagonal nessa camada.

Passo 2

Conceito e fórmula usada: explico o que é cada termo da densidade planar.
A densidade planar DP_{(0001)}^{HC} é dada por:
DP_{(0001)}^{HC}=\frac{\text{número de círculos máximos seccionados pelo plano }(0001)\text{ dentro da CU}}{\text{área seccionada pelo plano }(0001)\text{ na CU}}úíáá
Aqui cada “círculo máximo” corresponde ao corte do plano por um átomo cujo centro está exatamente sobre a camada — esse corte é um círculo de raio \;R\;. Nosso trabalho é contar quantos desses círculos, contados com a fração que cabe à célula unitária, existem e dividir pela área do hexágono formado.

Passo 3

Contagem dos círculos (numerador).
Observe a camada basal (plano (0001)) dentro da célula unitária convencional HC: há 6 átomos nos vértices do hexágono e 1 átomo no centro do hexágono. Agora precisamos saber quanto de cada átomo “pertence” àquela célula unitária quando olhamos apenas o plano:
  • Os 6 átomos dos vértices ficam nos vértices do hexágono. Num empacotamento plano hexagonal regular (tiling por hexágonos), cada vértice de hexágono é compartilhado por 3 hexágonos adjacentes no plano. Portanto cada átomo de vértice contribui com uma fração \tfrac{1}{3} para a célula unitária considerada na camada.
  • O átomo do centro pertence inteiramente ao hexágono (não é compartilhado com células vizinhas no plano), então contribui com 1.
Logo o número total de círculos máximos efetivamente dentro da célula unitária é
6\cdot\frac{1}{3} + 1 = 2 + 1 = 3.

Passo 4

Cálculo da área do corte do plano (0001) na célula unitária (denominador).
O hexágono formado pode ser visto como a reunião de 6 triângulos equiláteros de lado 2R. Explico por que o lado é 2R: centros de dois átomos vizinhos na mesma camada que tocam-se têm distância entre centros igual a 2R, e essa distância é o lado dos triângulos que compõem o hexágono da malha basal.
Área de um triângulo equilátero de lado s é
\text{Área}_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,s^{2}.Á
Aqui s=2R, então a área de cada triângulo é
\text{Área}_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,(2R)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4R^{2}=R^{2}\sqrt{3}.Á
Como o hexágono tem 6 desses triângulos, a área do hexágono (área seccionada pelo plano na célula unitária) é
\text{Área}_{(0001)}=6\cdot R^{2}\sqrt{3}.Á

Passo 5

Montagem da densidade planar e simplificação.
Agora usamos a fórmula do Passo 2, com numerador 3 (Passo 3) e denominador 6R^{2}\sqrt{3} (Passo 4):
DP_{(0001)}^{HC}=\frac{3}{6R^{2}\sqrt{3}}.
Simplificando a fração 3/(6)=1/2, obtemos
DP_{(0001)}^{HC}=\frac{1}{2\,R^{2}\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2\,R^{2}\sqrt{3}}

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