2 - Desenvolva a expressão para a densidade planar, em termos do raio atômico, para o plano (0001) na estrutura HC. (1.0 pontos)
Solução:
número de círculos máximos seccionados pelo plano
- 6 átomos nos vértices, onde cada um contribui com
de circulo máximo;
- 1 átomo no centro, que contribui com um círculo máximo.
área do plano
- equivale a área de seis triângulos eqüiláteros de lado
.
número de círculos máximos seccionados pelo plano
área do plano
Passo 1
O que o problema pede: desenvolver a expressão para a densidade planar do plano
na estrutura hexagonal compacta (HC, HCP) em termos do raio atômico
.
Informações relevantes fornecidas ou implicadas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas ou implicadas pelo enunciado:
- A densidade planar é definida como “número de círculos máximos seccionados pelo plano dentro da célula unitária” dividido pela “área seccionada do plano na célula unitária”.
- Num corte máximo de uma esfera (átomo) pelo plano passa o plano pelo centro da esfera, gerando um círculo de raio igual ao raio atômico
. - Geometria do plano
na HC: o corte na célula unitária forma um hexágono que pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros; os vértices do hexágono correspondem a átomos cujos centros estão na mesma camada, e há um átomo no centro da hexagonal nessa camada.
Passo 2
Conceito e fórmula usada: explico o que é cada termo da densidade planar.
A densidade planar é dada por:
A densidade planar
Aqui cada “círculo máximo” corresponde ao corte do plano por um átomo cujo centro está exatamente sobre a camada — esse corte é um círculo de raio
. Nosso trabalho é contar quantos desses círculos, contados com a fração que cabe à célula unitária, existem e dividir pela área do hexágono formado.
Passo 3
Contagem dos círculos (numerador).
Observe a camada basal (plano ) dentro da célula unitária convencional HC: há 6 átomos nos vértices do hexágono e 1 átomo no centro do hexágono. Agora precisamos saber quanto de cada átomo “pertence” àquela célula unitária quando olhamos apenas o plano:
Observe a camada basal (plano
- Os 6 átomos dos vértices ficam nos vértices do hexágono. Num empacotamento plano hexagonal regular (tiling por hexágonos), cada vértice de hexágono é compartilhado por 3 hexágonos adjacentes no plano. Portanto cada átomo de vértice contribui com uma fração
para a célula unitária considerada na camada. - O átomo do centro pertence inteiramente ao hexágono (não é compartilhado com células vizinhas no plano), então contribui com
.
Logo o número total de círculos máximos efetivamente dentro da célula unitária é
Passo 4
Cálculo da área do corte do plano
na célula unitária (denominador).
O hexágono formado pode ser visto como a reunião de 6 triângulos equiláteros de lado . Explico por que o lado é
: centros de dois átomos vizinhos na mesma camada que tocam-se têm distância entre centros igual a
, e essa distância é o lado dos triângulos que compõem o hexágono da malha basal.
O hexágono formado pode ser visto como a reunião de 6 triângulos equiláteros de lado
Área de um triângulo equilátero de lado
é
Aqui
, então a área de cada triângulo é
Como o hexágono tem 6 desses triângulos, a área do hexágono (área seccionada pelo plano na célula unitária) é
Passo 5
Montagem da densidade planar e simplificação.
Agora usamos a fórmula do Passo 2, com numerador (Passo 3) e denominador
(Passo 4):
Agora usamos a fórmula do Passo 2, com numerador
Simplificando a fração
, obtemos