Desenvolva as expressões para a carga crítica
e para a tensão critica
para as seguintes seções transversais:
Seção circular vazada.
Seção circular vazada.
Passo 1
O que o problema pede:
- Desenvolver as expressões para a carga crítica
e para a tensão crítica de uma barra cujo traço transversal é uma seção circular vazada (anel).
Informações / notação que vou usar (peguei da figura que acompanha o enunciado):
- A figura mostra uma seção circular vazada (um anel) e há uma indicação de um diâmetro marcado por
. Não é possível distinguir, pela imagem, se esse é o diâmetro externo ou interno; por conveniência vou adotar notação explícita abaixo. - Notação que usarei para clareza:
-
= diâmetro externo do anel (seção). -
= diâmetro interno do anel. -
= comprimento da barra (distância entre extremos). -
= módulo de elasticidade do material (Young). -
= fator de comprimento efetivo (depende das condições de contorno — por exemplo, para ligações articuladas em ambas as extremidades).
-
- Pressupostos necessários (condições em que a fórmula de Euler vale):
- Coluna perfeitamente reta e uniformemente carregada por compressão centrada.
- Comportamento elástico linear (antes do escoamento).
- Coluna suficientemente esbelta (regime de flambagem elástica).
Passo 2
Fórmula de Euler (forma geral) — explicando bem:
- A carga crítica de flambagem segundo Euler para uma coluna com inércia
e comprimento efetivo é
Explicação das variáveis:
-
é a carga axial a partir da qual a coluna perde a estabilidade por flambagem. -
é o módulo de Young do material (unidade: Pa). -
é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo neutro (unidade: m^4). -
é o comprimento geométrico da coluna (unidade: m) e é o fator que incorpora as condições de contorno (por exemplo, para extremidades encastradas-encastradas, para articuladas-articuladas, etc.). - Observação: para obter
usaremos , onde é a área da seção transversal.
Passo 3
Momento de inércia
da seção circular vazada (cálculo passo a passo):
- O momento de inércia de um círculo maciço de diâmetro
(raio ) em relação a um eixo que passa pelo centro vale
Substituindo
:
- De modo análogo, para o círculo interno (vazio) de diâmetro
(raio ):
- O momento de inércia da seção vazada (anel) é a diferença:
Passo 4
Área da seção
(passo a passo):
- Área do círculo externo:
. - Área do círculo interno (vazio):
. - Área do anel:
Passo 5
Substituindo
na fórmula de Euler para obter
:
- Usando
em , obtemos
- Multiplicando os fatores
:
(Essa é a expressão explícita da carga crítica em termos de
.)
Passo 6
Cálculo e simplificação da tensão crítica
:
- Escrevendo diretamente
- Calculemos a razão
para simplificar:
pois
.
- Substituindo
em :
- Portanto a forma simplificada final é
Passo 7
Comentários finais e checagens rápidas (para usar na prova):
- Caso especial (verificação de consistência): se a seção fosse maciça,
, então
o que é coerente com a fórmula geral.
- Lembre-se de escolher
apropriado às condições de contorno da coluna (articulada-articulada , encastrada-articulada , encastrada-encastrada , etc.). - Atenção: fórmulas de Euler são válidas enquanto a flambagem é elástica; se a coluna for curta (baixo esbeltez) ou se ocorrer escoamento antes da flambagem, o comportamento muda.