Desenvolva as expressões para a carga crítica P_{\text {crítica }}í e para a tensão critica \sigma_{\text {crítica }}í para as seguintes seções transversais:
Seção circular vazada.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Desenvolver as expressões para a carga crítica P_{\text{crítica}}í e para a tensão crítica \sigma_{\text{crítica}}í de uma barra cujo traço transversal é uma seção circular vazada (anel).
Informações / notação que vou usar (peguei da figura que acompanha o enunciado):
  • A figura mostra uma seção circular vazada (um anel) e há uma indicação de um diâmetro marcado por d. Não é possível distinguir, pela imagem, se esse d é o diâmetro externo ou interno; por conveniência vou adotar notação explícita abaixo.
  • Notação que usarei para clareza:
    • D = diâmetro externo do anel (seção).
    • d = diâmetro interno do anel.
    • L = comprimento da barra (distância entre extremos).
    • E = módulo de elasticidade do material (Young).
    • K = fator de comprimento efetivo (depende das condições de contorno — por exemplo, K=1 para ligações articuladas em ambas as extremidades).
  • Pressupostos necessários (condições em que a fórmula de Euler vale):
    • Coluna perfeitamente reta e uniformemente carregada por compressão centrada.
    • Comportamento elástico linear (antes do escoamento).
    • Coluna suficientemente esbelta (regime de flambagem elástica).

Passo 2

Fórmula de Euler (forma geral) — explicando bem:
  • A carga crítica de flambagem segundo Euler para uma coluna com inércia I e comprimento efetivo L_e = K L é
P_{\text{crítica}} = \frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}.í
Explicação das variáveis:
  • P_{\text{crítica}}í é a carga axial a partir da qual a coluna perde a estabilidade por flambagem.
  • E é o módulo de Young do material (unidade: Pa).
  • I é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo neutro (unidade: m^4).
  • L é o comprimento geométrico da coluna (unidade: m) e K é o fator que incorpora as condições de contorno (por exemplo, K=0{,}5 para extremidades encastradas-encastradas, K=1 para articuladas-articuladas, etc.).
  • Observação: para obter \sigma_{\text{crítica}}í usaremos \sigma_{\text{crítica}} = P_{\text{crítica}}/Aíí, onde A é a área da seção transversal.

Passo 3

Momento de inércia I da seção circular vazada (cálculo passo a passo):
  • O momento de inércia de um círculo maciço de diâmetro \!D\! (raio R=D/2) em relação a um eixo que passa pelo centro vale
I_{\text{círculo}} = \frac{\pi R^{4}}{4}.í
Substituindo R=D/2:
I_{\text{círculo externo}} = \frac{\pi}{4}\left(\frac{D}{2}\right)^{4} = \frac{\pi D^{4}}{64}.í
  • De modo análogo, para o círculo interno (vazio) de diâmetro d (raio r=d/2):
I_{\text{círculo interno}} = \frac{\pi d^{4}}{64}.í
  • O momento de inércia da seção vazada (anel) é a diferença:
I = I_{\text{externo}} - I_{\text{interno}} = \frac{\pi}{64}\left(D^{4}-d^{4}\right).

Passo 4

Área da seção A (passo a passo):
  • Área do círculo externo: \displaystyle A_{\text{ext}}=\frac{\pi D^{2}}{4}.
  • Área do círculo interno (vazio): \displaystyle A_{\text{int}}=\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Área do anel:
A = A_{\text{ext}}-A_{\text{int}} = \frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right).

Passo 5

Substituindo I na fórmula de Euler para obter P_{\text{crítica}}í:
  • Usando \displaystyle I=\frac{\pi}{64}\left(D^{4}-d^{4}\right) em \displaystyle P_{\text{crítica}}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}í, obtemos
P_{\text{crítica}} = \frac{\pi^{2} E}{(K L)^{2}}\cdot \frac{\pi}{64}\left(D^{4}-d^{4}\right).í
  • Multiplicando os fatores \pi:
P_{\text{crítica}} = \frac{\pi^{3} E\left(D^{4}-d^{4}\right)}{64\,(K L)^{2}}.í
(Essa é a expressão explícita da carga crítica em termos de D,d,E,L,K.)

Passo 6

Cálculo e simplificação da tensão crítica \sigma_{\text{crítica}} = P_{\text{crítica}}/Aíí:
  • Escrevendo diretamente
\sigma_{\text{crítica}} = \frac{P_{\text{crítica}}}{A} = \frac{\displaystyle \frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}}{\displaystyle \frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right)} = \frac{\pi^{2} E}{(K L)^{2}}\cdot\frac{I}{\displaystyle \frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right)}.íí
  • Calculemos a razão I/A para simplificar:
\frac{I}{A} = \frac{\displaystyle \frac{\pi}{64}\left(D^{4}-d^{4}\right)}{\displaystyle \frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right)} = \frac{1}{64}\cdot\frac{4}{1}\cdot\frac{D^{4}-d^{4}}{D^{2}-d^{2}} = \frac{1}{16}\,(D^{2}+d^{2}),
pois \displaystyle \frac{D^{4}-d^{4}}{D^{2}-d^{2}} = D^{2}+d^{2}.
  • Substituindo \displaystyle \frac{I}{A}=\frac{1}{16}(D^{2}+d^{2}) em \sigma_{\text{crítica}}í:
\sigma_{\text{crítica}} = \frac{\pi^{2} E}{(K L)^{2}}\cdot\frac{1}{16}\left(D^{2}+d^{2}\right).í
  • Portanto a forma simplificada final é
\sigma_{\text{crítica}} = \frac{\pi^{2} E\left(D^{2}+d^{2}\right)}{16\,(K L)^{2}}.í

Passo 7

Comentários finais e checagens rápidas (para usar na prova):
  • Caso especial (verificação de consistência): se a seção fosse maciça, d=0, então
\sigma_{\text{crítica}}(d=0)=\frac{\pi^{2} E D^{2}}{16\,(K L)^{2}},í
o que é coerente com a fórmula geral.
  • Lembre-se de escolher K apropriado às condições de contorno da coluna (articulada-articulada K=1, encastrada-articulada K\approx0{,}7, encastrada-encastrada K=0{,}5, etc.).
  • Atenção: fórmulas de Euler são válidas enquanto a flambagem é elástica; se a coluna for curta (baixo esbeltez) ou se ocorrer escoamento antes da flambagem, o comportamento muda.

Resposta

P_{\text{crítica}} = \frac{\pi^{3} E\left(D^{4}-d^{4}\right)}{64\,(K L)^{2}}í
\sigma_{\text{crítica}} = \frac{\pi^{2} E\left(D^{2}+d^{2}\right)}{16\,(K L)^{2}}í

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