Desenvolva as expressões para a carga crítica P_{\text {crítica }}í e para a tensão critica \sigma_{\text {crítica }}í para as seguintes seções transversais:
Seção retangular;

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Desenvolver expressões para a carga crítica P_{\text{crítica}}í e para a tensão crítica \sigma_{\text{crítica}}í para seções transversais do tipo:
    • Seção retangular (dimensões b e h);
    • Seção circular (diâmetro d; nota: este dado aparece na imagem enviada).
Informações relevantes e parâmetros que vamos usar (não é pedido no enunciado, mas são necessários para escrever as fórmulas gerais):
  • Módulo de Young do material: E.
  • Comprimento do elemento (viga/coluna): L.
  • Fator de comprimento efetivo associado às condições de contorno: K (isto é, o comprimento efetivo é L_{\text{ef}}=K\,L; K depende das condições de apoio).
  • Área da seção A e momento de inércia em relação ao eixo de flambagem I (estes dependem da forma da seção e da orientação da flambagem).
O que será entregue:
  • Fórmulas gerais de Euler para P_{\text{crítica}}í e \sigma_{\text{crítica}}í.
  • Substituição dessas fórmulas nas expressões de A e I para a seção retangular (ambas as orientações possíveis: flambagem em torno do eixo forte e fraco) e para a seção circular (diâmetro d).
  • Resultado final simplificado para cada caso.

Passo 2

Derivação e fórmula básica de flambagem (Euler) — ideia e definição das variáveis (sem pular etapas importantes).
  • Para uma coluna esbelta submetida a compressão axial, a fórmula clássica linear-elástica de flambagem de Euler dá a carga crítica mínima para a qual aparece uma solução não-trivial da equação de equilíbrio elástico. A forma bem conhecida da solução é
P_{\text{crítica}}=\frac{\pi^{2}E I}{L_{\text{ef}}^{2}},í
onde:
  • P_{\text{crítica}}í é a carga de flambagem (força axial);
  • E é o módulo de Young do material;
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo que está sofrendo flexão (o eixo perpendicular ao plano de flambagem);
  • L_{\text{ef}}=K\,L é o comprimento efetivo da coluna, com L o comprimento geométrico e K o fator que depende das condições de contorno (por exemplo: extremidades engastadas K=0{,}5; uma extremidade engastada e outra livre K=2; ambas livres para girar e sem deslocamento K=1; etc.).
  • A tensão crítica média que corresponde a P_{\text{crítica}}í é simplesmente
\sigma_{\text{crítica}}=\frac{P_{\text{crítica}}}{A},íí
onde A é a área da seção transversal.
Observação prática: quem governa a flambagem é o menor valor de P_{\text{crítica}}í entre as possíveis direções de flambagem (para seções não circulares normalmente há duas direções: em torno do eixo x e do eixo y; a coluna vai flambear na direção com menor I).

Passo 3

Aplicação às seções retangulares — definição de A e I e substituição.
  • Definições geométricas (para um retângulo de lados b e h; combinaremos depois):
    • Área:
    A = b\,h.
    • Momentos de inércia centroidais (em relação aos eixos que passam pelo centro e são paralelos aos lados):
      • Momento de inércia em torno do eixo que dobra a placa no sentido do lado b (isto é, a curva tem concavidade no sentido de h; normalmente chamado eixo x se h é a altura vertical):
      I_{x}=\frac{b\,h^{3}}{12}.
      • Momento de inércia em torno do eixo perpendicular (dobramento no sentido do lado h; eixo y):
      I_{y}=\frac{h\,b^{3}}{12}.
  • Carga crítica (fórmula de Euler aplicada ao respectivo momento de inércia):
    • Se flambagem ocorrer em torno do eixo x (isto é, a seção flexiona com curvatura associada a I_x):
    P_{\text{cr},x}=\frac{\pi^{2}E I_{x}}{(K L)^{2}}=\frac{\pi^{2}E}{(K L)^{2}}\cdot\frac{b\,h^{3}}{12}.
    • Se flambagem ocorrer em torno do eixo y:
    P_{\text{cr},y}=\frac{\pi^{2}E I_{y}}{(K L)^{2}}=\frac{\pi^{2}E}{(K L)^{2}}\cdot\frac{h\,b^{3}}{12}.
  • Tensão crítica correspondente (usar \sigma_{\text{cr}}=P_{\text{cr}}/A e simplificar):
    • Para flambagem em torno de x:
    \sigma_{\text{cr},x}=\frac{P_{\text{cr},x}}{A} =\frac{\dfrac{\pi^{2}E\,b\,h^{3}}{12\,(K L)^{2}}}{b\,h} =\frac{\pi^{2}E\,h^{2}}{12\,(K L)^{2}}.
    (aqui cancelou um fator b\,h com b\,h^{3} deixando h^{2} no numerador).
    • Para flambagem em torno de y:
    \sigma_{\text{cr},y}=\frac{P_{\text{cr},y}}{A} =\frac{\dfrac{\pi^{2}E\,h\,b^{3}}{12\,(K L)^{2}}}{b\,h} =\frac{\pi^{2}E\,b^{2}}{12\,(K L)^{2}}.
Interpretação rápida (útil na prova): as expressões mostram que a tensão crítica para um retângulo depende do quadrado da dimensão perpendicular ao eixo de flambagem (ex.: \sigma_{\text{cr},x}\propto h^{2}). Portanto, a coluna flambeará pela direção que dá menor \sigma_{\text{cr}} (ou menor P_{\text{cr}}), isto é, pela direção com menor momento de inércia.

Passo 4

Aplicação à seção circular (diâmetro d) — A, I e simplificações.
  • Geometria da seção circular de diâmetro d:
    • Área:
    A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
    • Momento de inércia polar (ou em qualquer eixo através do centro, porque a seção é simétrica):
    I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
  • Carga crítica (Euler):
P_{\text{cr}}=\frac{\pi^{2}E I}{(K L)^{2}}=\frac{\pi^{2}E}{(K L)^{2}}\cdot\frac{\pi d^{4}}{64}=\frac{\pi^{3} E\, d^{4}}{64\,(K L)^{2}}.
  • Tensão crítica:
    • Podemos usar \sigma_{\text{cr}}=P_{\text{cr}}/A ou simplificar usando I/A. Observação:
    \frac{I}{A}=\frac{\dfrac{\pi d^{4}}{64}}{\dfrac{\pi d^{2}}{4}}=\frac{d^{2}}{16}.
    • Então
    \sigma_{\text{cr}}=\frac{P_{\text{cr}}}{A}=\frac{\pi^{2}E}{(K L)^{2}}\cdot\frac{I}{A} =\frac{\pi^{2}E}{(K L)^{2}}\cdot\frac{d^{2}}{16} =\frac{\pi^{2}E\,d^{2}}{16\,(K L)^{2}}.
Verificação rápida (multiplicando \sigma_{\text{cr}} por A obtém-se o P_{\text{cr}} acima).

Passo 5

Observações finais, dicas práticas e interpretação para a prova (resumo rápido e motivador):
  • Sempre comece identificando:
    1. Qual é o eixo de flambagem (em seções não circulares há duas opções; escolha a que dá menor P_{\text{cr}}).
    2. O momento de inércia correto I em relação a esse eixo.
    3. O fator K correspondente às condições de contorno (se o enunciado não der K, deixe o resultado em função de K).
  • Em provas, use as formas simplificadas que resultam de \sigma_{\text{cr}}=\dfrac{\pi^{2}E I}{A (K L)^{2}} porque em muitos casos isto elimina repetições de cálculos.
  • Um truque rápido para verificar unidades: \sigma_{\text{cr}} tem unidades de E multiplicadas por (comprimento){2}/(comprimento){2} — bom sinal. E para seções circulares a expressão simples \sigma_{\text{cr}}=\dfrac{\pi^{2}E d^{2}}{16(KL)^{2}} costuma aparecer com frequência.

Resposta

Seção retangular (dimensões b e h):
P_{\text{cr},x}=\frac{\pi^{2}E}{(K L)^{2}}\cdot\frac{b\,h^{3}}{12},\qquad \sigma_{\text{cr},x}=\frac{\pi^{2}E\,h^{2}}{12\,(K L)^{2}}
P_{\text{cr},y}=\frac{\pi^{2}E}{(K L)^{2}}\cdot\frac{h\,b^{3}}{12},\qquad \sigma_{\text{cr},y}=\frac{\pi^{2}E\,b^{2}}{12\,(K L)^{2}}
Seção circular (diâmetro d):
P_{\text{cr}}=\frac{\pi^{3}E\,d^{4}}{64\,(K L)^{2}},\qquad \sigma_{\text{cr}}=\frac{\pi^{2}E\,d^{2}}{16\,(K L)^{2}}

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