Desenvolva as expressões para a carga crítica
e para a tensão critica
para as seguintes seções transversais:
Seção retangular;
Seção retangular;
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Desenvolver expressões para a carga crítica
e para a tensão crítica para seções transversais do tipo: - Seção retangular (dimensões
e ); - Seção circular (diâmetro
; nota: este dado aparece na imagem enviada).
- Seção retangular (dimensões
Informações relevantes e parâmetros que vamos usar (não é pedido no enunciado, mas são necessários para escrever as fórmulas gerais):
- Módulo de Young do material:
. - Comprimento do elemento (viga/coluna):
. - Fator de comprimento efetivo associado às condições de contorno:
(isto é, o comprimento efetivo é ; depende das condições de apoio). - Área da seção
e momento de inércia em relação ao eixo de flambagem (estes dependem da forma da seção e da orientação da flambagem).
O que será entregue:
- Fórmulas gerais de Euler para
e . - Substituição dessas fórmulas nas expressões de
e para a seção retangular (ambas as orientações possíveis: flambagem em torno do eixo forte e fraco) e para a seção circular (diâmetro ). - Resultado final simplificado para cada caso.
Passo 2
Derivação e fórmula básica de flambagem (Euler) — ideia e definição das variáveis (sem pular etapas importantes).
- Para uma coluna esbelta submetida a compressão axial, a fórmula clássica linear-elástica de flambagem de Euler dá a carga crítica mínima para a qual aparece uma solução não-trivial da equação de equilíbrio elástico. A forma bem conhecida da solução é
onde:
-
é a carga de flambagem (força axial); -
é o módulo de Young do material; -
é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo que está sofrendo flexão (o eixo perpendicular ao plano de flambagem); -
é o comprimento efetivo da coluna, com o comprimento geométrico e o fator que depende das condições de contorno (por exemplo: extremidades engastadas ; uma extremidade engastada e outra livre ; ambas livres para girar e sem deslocamento ; etc.). -
A tensão crítica média que corresponde a
é simplesmente
onde
é a área da seção transversal.
Observação prática: quem governa a flambagem é o menor valor de
entre as possíveis direções de flambagem (para seções não circulares normalmente há duas direções: em torno do eixo
e do eixo
; a coluna vai flambear na direção com menor
).
Passo 3
Aplicação às seções retangulares — definição de
e
e substituição.
-
Definições geométricas (para um retângulo de lados
e ; combinaremos depois): - Área:
- Momentos de inércia centroidais (em relação aos eixos que passam pelo centro e são paralelos aos lados):
- Momento de inércia em torno do eixo que dobra a placa no sentido do lado
(isto é, a curva tem concavidade no sentido de ; normalmente chamado eixo se é a altura vertical):
- Momento de inércia em torno do eixo perpendicular (dobramento no sentido do lado
; eixo ):
- Momento de inércia em torno do eixo que dobra a placa no sentido do lado
-
Carga crítica (fórmula de Euler aplicada ao respectivo momento de inércia):
- Se flambagem ocorrer em torno do eixo
(isto é, a seção flexiona com curvatura associada a ):
- Se flambagem ocorrer em torno do eixo
:
- Se flambagem ocorrer em torno do eixo
-
Tensão crítica correspondente (usar
e simplificar): - Para flambagem em torno de
:
(aqui cancelou um fatorcom deixando no numerador). - Para flambagem em torno de
:
- Para flambagem em torno de
Interpretação rápida (útil na prova): as expressões mostram que a tensão crítica para um retângulo depende do quadrado da dimensão perpendicular ao eixo de flambagem (ex.:
). Portanto, a coluna flambeará pela direção que dá menor
(ou menor
), isto é, pela direção com menor momento de inércia.
Passo 4
Aplicação à seção circular (diâmetro
) —
,
e simplificações.
-
Geometria da seção circular de diâmetro
: - Área:
- Momento de inércia polar (ou em qualquer eixo através do centro, porque a seção é simétrica):
-
Carga crítica (Euler):
- Tensão crítica:
- Podemos usar
ou simplificar usando . Observação:
- Então
- Podemos usar
Verificação rápida (multiplicando
por
obtém-se o
acima).
Passo 5
Observações finais, dicas práticas e interpretação para a prova (resumo rápido e motivador):
- Sempre comece identificando:
- Qual é o eixo de flambagem (em seções não circulares há duas opções; escolha a que dá menor
). - O momento de inércia correto
em relação a esse eixo. - O fator
correspondente às condições de contorno (se o enunciado não der , deixe o resultado em função de ).
- Qual é o eixo de flambagem (em seções não circulares há duas opções; escolha a que dá menor
- Em provas, use as formas simplificadas que resultam de
porque em muitos casos isto elimina repetições de cálculos. - Um truque rápido para verificar unidades:
tem unidades de multiplicadas por (comprimento){2}/(comprimento){2} — bom sinal. E para seções circulares a expressão simples costuma aparecer com frequência.
Resposta
Seção retangular (dimensões
e
):
Seção circular (diâmetro
):