Desenvolva as expressões soluções (ou valores) das integrais I de cada caso.
I=\int_{0}^{5} \frac{A}{x} d x; (Integral imprópria)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I=\int_{0}^{5}\frac{A}{x}\,dx
onde A é constante. Como o integrando tem singularidade em x=0, trata‐se de uma integral imprópria do tipo I. Para resolver usamos definição por limite.

Passo 2

Reescrevemos a integral usando um parâmetro \varepsilon>0 que tende a zero pela direita:
I=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{5}\frac{A}{x}\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral indefinida de \frac{A}{x}. Sabemos que
\int\frac{A}{x}\,dx =A\int\frac{1}{x}\,dx =A\ln\lvert x\rvert+C.

Passo 4

Aplicando os limites \varepsilon e 5, obtemos
\int_{\varepsilon}^{5}\frac{A}{x}\,dx =A\bigl[\ln(5)-\ln(\varepsilon)\bigr].

Passo 5

Agora fazemos \varepsilon\to0^+. Como \ln(\varepsilon)\to-\infty, temos
\ln(5)-\ln(\varepsilon)\to+\infty.
Portanto,
I =\lim_{\varepsilon\to0^+}A\bigl[\ln(5)-\ln(\varepsilon)\bigr] =\begin{cases} +\infty,&A>0,\\\\ -\infty,&A<0,\\\\ 0,&A=0. \end{cases}

Resposta

A integral é divergente (não converge) sempre que A\neq0. Se A=0, então I=0.

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