Desenvolva as expressões soluções (ou valores) das integrais I de cada caso.
I=\int_{x_{o}}^{x_{f}} \frac{C}{x} d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular
I = \int_{x_{0}}^{x_{f}} \frac{C}{x}\,dx
onde C é constante. O conteúdo necessário é encontrar a antiderivada de \tfrac{1}{x}.

Passo 2

Sabemos que a antiderivada de \tfrac{1}{x} é \ln|x|. Como C é constante, a antiderivada de \tfrac{C}{x} é
C \ln|x|.

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo, avaliamos a primitiva entre x_{0} e x_{f}:
I = \bigl[C \ln|x|\bigr]_{x_{0}}^{x_{f}} = C \ln|x_{f}| - C \ln|x_{0}| = C\bigl(\ln|x_{f}| - \ln|x_{0}|\bigr).
Usando a propriedade dos logaritmos, isso pode ser escrito como
I = C \ln\!\bigl|\tfrac{x_{f}}{x_{0}}\bigr|.

Resposta

I = C \ln\!\bigl|\tfrac{x_{f}}{x_{0}}\bigr|.

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