Desenvolva.
\log _{7}\left(\frac{\sqrt[3]{c^{2}}}{a b^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para “desenvolver” a expressão
\log_{7}\!\Bigl(\frac{\sqrt[3]{c^{2}}}{a b^{2}}\Bigr).
O conteúdo envolvido é o uso das propriedades de logaritmo: logaritmo de quociente, de produto e de potência.

Passo 2

Aplicamos a propriedade do quociente:
\log_{7}\!\Bigl(\frac{X}{Y}\Bigr) = \log_{7}(X) - \log_{7}(Y),
onde X = \sqrt[3]{c^{2}} e Y = a b^{2}. Assim,
\log_{7}\!\Bigl(\frac{\sqrt[3]{c^{2}}}{a b^{2}}\Bigr) = \log_{7}\!\bigl(\sqrt[3]{c^{2}}\bigr)\;-\;\log_{7}\!\bigl(a b^{2}\bigr).

Passo 3

Desenvolvemos cada termo:
- Como \sqrt[3]{c^{2}} = c^{2/3}, pela potência:
\log_{7}\!\bigl(c^{2/3}\bigr) = \tfrac{2}{3}\,\log_{7}\text{(c)}.
- Para o produto a b^{2}, usamos
\log_{7}(a b^{2}) = \log_{7}(a) + \log_{7}(b^{2}) = \log_{7}(a) + 2\,\log_{7}(b).

Passo 4

Substituindo no resultado do passo 2:
\log_{7}\!\Bigl(\frac{\sqrt[3]{c^{2}}}{a b^{2}}\Bigr) = \tfrac{2}{3}\,\log_{7}\text{(c)} \;-\;\bigl[\log_{7}(a) + 2\,\log_{7}(b)\bigr] = \tfrac{2}{3}\,\log_{7}\text{(c)} - \log_{7}(a) - 2\,\log_{7}(b).

Resposta

\frac{2}{3}\,\log_{7}\text{(c)}\;-\;\log_{7}(a)\;-\;2\,\log_{7}(b).

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