Desenvolva.
\log _{10}\left(\frac{(a b c)^{2}}{\sqrt{b^{3}}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para expandir
\log_{10}\!\biggl(\frac{(a b c)^{2}}{\sqrt{b^{3}}}\biggr).
O conteúdo envolve as propriedades de logaritmo de quociente, produto e potência:
  1. \log_{10}\!\bigl(\tfrac{X}{Y}\bigr)=\log_{10}X-\log_{10}Y.
  2. \log_{10}(X^k)=k\,\log_{10}X.
  3. \log_{10}(XY)=\log_{10}X+\log_{10}Y.

Passo 2

Aplicando a propriedade do quociente:
\log_{10}\!\biggl(\frac{(abc)^2}{\sqrt{b^3}}\biggr) =\log_{10}\bigl((abc)^2\bigr)\;-\;\log_{10}\bigl(\sqrt{b^3}\bigr).

Passo 3

Usando a propriedade da potência em cada termo:
\log_{10}\bigl((abc)^2\bigr)=2\,\log_{10}(abc), \quad \log_{10}\bigl(\sqrt{b^3}\bigr)=\log_{10}\bigl(b^{3/2}\bigr)=\tfrac{3}{2}\,\log_{10}(b).
Logo
\log_{10}\!\biggl(\frac{(abc)^2}{\sqrt{b^3}}\biggr) =2\,\log_{10}(abc)\;-\;\tfrac{3}{2}\,\log_{10}(b).

Passo 4

Agora expandimos \log_{10}(abc) pelo produto:
\log_{10}(abc)=\log_{10}(a)+\log_{10}(b)+\log_{10}\text{(c)}.
Substituindo:
2\,\log_{10}(abc) =2\bigl[\log_{10}(a)+\log_{10}(b)+\log_{10}\text{(c)}\bigr] =2\log_{10}(a)+2\log_{10}(b)+2\log_{10}\text{(c)}.

Passo 5

Substituindo no resultado anterior e combinando os termos em \log_{10}(b):
2\log_{10}(a)+2\log_{10}(b)+2\log_{10}\text{(c)} \;-\;\tfrac{3}{2}\log_{10}(b) =2\log_{10}(a)+\bigl(2-\tfrac{3}{2}\bigr)\log_{10}(b)+2\log_{10}\text{(c)} =2\log_{10}(a)+\tfrac{1}{2}\log_{10}(b)+2\log_{10}\text{(c)}.

Resposta

2\log_{10}(a)+\tfrac{1}{2}\log_{10}(b)+2\log_{10}\text{(c)}.

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