Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
(d) \left(x^{2}+2 y\right)^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: desenvolver (expandir) a expressão \left(x^{2}+2 y\right)^{3}.
Informações dadas: a expressão é um binômio elevado ao expoente 3, ou seja, um caso de potência de soma com dois termos.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (caso padrão para potência cúbica de um binômio). Para quaisquer a e b vale:
(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.
Explicação rápida dos coeficientes: os números 1,3,3,1 são os coeficientes binomiais \binom{3}{0},\binom{3}{1},\binom{3}{2},\binom{3}{3}. Eles aparecem porque, ao multiplicar (a+b)(a+b)(a+b), conta-se de quantas maneiras se escolhe quantos fatores a e quantos fatores b aparecem em cada termo.

Passo 3

Identificar a e b no nosso problema:
a = x^{2},\qquad b = 2y.
Vamos substituir esses valores na fórmula do passo anterior e calcular termo a termo.

Passo 4

Calcular a^{3}:
a^{3}=(x^{2})^{3}=x^{2\cdot 3}=x^{6}.
Regra usada: (u^{m})^{n}=u^{m n}.

Passo 5

Calcular 3a^{2}b:
Primeiro a^{2}=(x^{2})^{2}=x^{4}.
Depois multiplicar por b: x^{4}\cdot(2y)=2x^{4}y.
Finalmente multiplicar pelo coeficiente 3: 3\cdot 2x^{4}y=6x^{4}y.
Logo
3a^{2}b=6x^{4}y.

Passo 6

Calcular 3ab^{2}:
Primeiro b^{2}=(2y)^{2}=4y^{2}.
Depois a\cdot b^{2}=x^{2}\cdot 4y^{2}=4x^{2}y^{2}.
Multiplicando pelo 3 obtemos 3\cdot 4x^{2}y^{2}=12x^{2}y^{2}.
Logo
3ab^{2}=12x^{2}y^{2}.

Passo 7

Calcular b^{3}:
b^{3}=(2y)^{3}=2^{3}y^{3}=8y^{3}.

Passo 8

Somar todos os termos obtidos, seguindo a fórmula:
(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}
substituindo os resultados:
\left(x^{2}+2y\right)^{3}=x^{6}+6x^{4}y+12x^{2}y^{2}+8y^{3}.
Observação final: os coeficientes 1,6,12,8 provêm da combinação dos coeficientes binomiais com as potências de 2 que surgem ao elevar b=2y.

Resposta

\,x^{6}+6x^{4}y+12x^{2}y^{2}+8y^{3}

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