Desenvolva, usando o teorema binomial:
\left(a+b^{2}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para expandir o binômio \bigl(a + b^2\bigr)^5 usando o teorema binomial. O conteúdo é o Teorema de Newton para binômios, que nos permite escrever (x+y)^n como soma de termos envolvendo coeficientes binomiais.

Passo 2

O Teorema Binomial diz que, para qualquer inteiro n\ge0,
(x+y)^n \;=\;\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\,x^{\,n-k}\,y^{\,k}.
Aqui identificamos n=5, x=a e y=b^2.

Passo 3

O termo geral da expansão é
T_k \;=\;\binom{5}{k}\,a^{5-k}\,\bigl(b^2\bigr)^{k} \;=\;\binom{5}{k}\,a^{5-k}\,b^{2k},
para k=0,1,2,3,4,5.

Passo 4

Agora substituímos k=0,1,2,3,4,5 em T_k:
Para k=0 temos
T_0 = \binom{5}{0}\,a^5\,b^{0} = a^5.
Para k=1 temos
T_1 = \binom{5}{1}\,a^4\,b^{2} = 5\,a^4\,b^2.
Para k=2 temos
T_2 = \binom{5}{2}\,a^3\,b^{4} = 10\,a^3\,b^4.
Para k=3 temos
T_3 = \binom{5}{3}\,a^2\,b^{6} = 10\,a^2\,b^6.
Para k=4 temos
T_4 = \binom{5}{4}\,a^1\,b^{8} = 5\,a\,b^8.
Para k=5 temos
T_5 = \binom{5}{5}\,a^0\,b^{10} = b^{10}.
Somando todos os termos, obtemos a expansão completa.

Resposta

(a + b^2)^5 = a^5 + 5\,a^4 b^2 + 10\,a^3 b^4 + 10\,a^2 b^6 + 5\,a b^8 + b^{10}.

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