Desenvolva, usando o teorema binomial:
(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{4}

Passo 1

O enunciado pede para expandir o binômio (\sqrt{x}-\sqrt{y})^{4} usando o teorema binomial. Vamos aplicar a fórmula geral
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k}
ao caso em que a=\sqrt{x}, b=-\sqrt{y} e n=4.

Passo 2

Pela fórmula, temos
(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{4} = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{4-k} \bigl(-\sqrt{y}\bigr)^{k}.

Passo 3

Vamos calcular cada termo da soma, lembrando que \bigl(-\sqrt{y}\bigr)^{k}=(-1)^{k}y^{k/2} e \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{4-k}=x^{\frac{4-k}{2}}:
  • k=0: \displaystyle \binom{4}{0}x^{2}(-1)^{0}y^{0}=1\cdot x^{2}.
  • k=1: \displaystyle \binom{4}{1}x^{3/2}(-1)^{1}y^{1/2}=4\cdot x^{3/2}(-1)y^{1/2}=-4x^{3/2}y^{1/2}.
  • k=2: \displaystyle \binom{4}{2}x^{1}(-1)^{2}y^{1}=6\cdot x\,y=6xy.
  • k=3: \displaystyle \binom{4}{3}x^{1/2}(-1)^{3}y^{3/2}=4\cdot x^{1/2}(-1)y^{3/2}=-4x^{1/2}y^{3/2}.
  • k=4: \displaystyle \binom{4}{4}x^{0}(-1)^{4}y^{2}=1\cdot y^{2}=y^{2}.

Passo 4

Somando todos os termos, obtemos a expressão final simplificada:

Resposta

(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{4} = x^{2} -4x^{3/2}y^{1/2} +6xy -4x^{1/2}y^{3/2} +y^{2}.

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