Desenvolvendo familiaridade com coordenadas esféricas
, dadas por:
Determine o diferencial
(elemento de deslocamento) em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre coordenadas esféricas! A gente vai trabalhar com o cálculo vetorial, especificamente determinando o elemento de deslocamento
nas coordenadas esféricas
. Para isso, precisamos entender como as coordenadas esféricas se relacionam com as coordenadas cartesianas e como calcular diferenciais em sistemas de coordenadas diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas estão definidas em termos das coordenadas cartesianas
,
e
:
Aqui,
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
) e
é o ângulo azimutal (no plano
).
Passo 3
Para encontrar o elemento de deslocamento
, precisamos expressar a variação da posição
em termos das variações das coordenadas
,
e
. Em coordenadas esféricas, o vetor posição
pode ser escrito como:
onde
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 4
Ao diferenciarmos
, temos:
Agora, precisamos encontrar a variação do vetor unitário
em termos dos ângulos
e
.
Passo 5
Sabemos que os vetores unitários em coordenadas esféricas mudam conforme os ângulos
e
variam. As derivações são:
Para nosso caso, utilizaremos apenas a variação de
.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Isso representa o elemento de deslocamento em coordenadas esféricas, combinando as variações radiais, angulares e azimutais.
Resposta
O elemento de deslocamento em coordenadas esféricas é dado por: