Desenvolvendo familiaridade com coordenadas esféricas (r, theta, varphi), dadas por:
& r=+raizx^2+y^2+z^2 & theta=arccos (z / r) & varphi=arctan (y / x)
Determine o diferencial d r (elemento de deslocamento) em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre coordenadas esféricas! A gente vai trabalhar com o cálculo vetorial, especificamente determinando o elemento de deslocamento dr nas coordenadas esféricas (r, theta, varphi). Para isso, precisamos entender como as coordenadas esféricas se relacionam com as coordenadas cartesianas e como calcular diferenciais em sistemas de coordenadas diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas estão definidas em termos das coordenadas cartesianas x, y e z:
& r = raizx^2 + y^2 + z^2 & theta = arccos(zr) & varphi = arctan(yx)
Aqui, r é a distância do ponto à origem, theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e varphi é o ângulo azimutal (no plano xy).

Passo 3

Para encontrar o elemento de deslocamento dr, precisamos expressar a variação da posição r em termos das variações das coordenadas r, theta e varphi. Em coordenadas esféricas, o vetor posição r pode ser escrito como:
r = r,er
onde er é o vetor unitário na direção radial.

Passo 4

Ao diferenciarmos r, temos:
dr = dr,er + r,der
Agora, precisamos encontrar a variação do vetor unitário der em termos dos ângulos theta e varphi.

Passo 5

Sabemos que os vetores unitários em coordenadas esféricas mudam conforme os ângulos theta e varphi variam. As derivações são:
der &= dtheta,etheta + sintheta,dvarphi,evarphi detheta &= -dtheta,er + dvarphi,costheta,evarphi devarphi &= -sintheta,dvarphi,er - costheta,dvarphi,etheta
Para nosso caso, utilizaremos apenas a variação de er.

Passo 6

Substituindo der na expressão de dr:
dr = dr,er + r,(dtheta,etheta + sintheta,dvarphi,evarphi)
Isso representa o elemento de deslocamento em coordenadas esféricas, combinando as variações radiais, angulares e azimutais.

Resposta

O elemento de deslocamento em coordenadas esféricas é dado por:
dr = dr,er + r,dtheta,etheta + r,sintheta,dvarphi,evarphi

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