Considere as interações gravitacional e eletrostática entre dois elétrons, Fg e Fe respectivamente, separados por uma distância r. Consultando os valores das constantes físicas neste endereço, determine:
Hipoteticamente, qual deveria ser a ordem de grandeza da massa do elétron para que estas forças pudessem se equilibrar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir qual seria a ordem de grandeza da massa de um elétron para que a força gravitacional ( Fg) entre dois elétrons seja igual à força eletrostática ( Fe) entre eles. Isso envolve conceitos de força gravitacional e força eletrostática, além de usar as constantes físicas correspondentes. Vamos precisar lembrar das fórmulas dessas forças e entender como igualá-las para encontrar a massa desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as fórmulas para as duas forças envolvidas.
A força gravitacional entre dois objetos é dada por:
Fg = G m^2r^2
onde:
  • G é a constante gravitacional ( 6.674 times 10^-11 , N·m^2/kg^2),
  • m é a massa de cada elétron,
  • r é a distância entre os centros dos dois elétrons.
Já a força eletrostática entre duas cargas elétricas é dada por Coulomb:
Fe = k e^2r^2
onde:
  • k é a constante eletrostática ( 8.988 times 10^9 , N·m^2/C^2),
  • e é a carga de um elétron ( 1.602 times 10^-19 , C),
  • r é novamente a distância entre os elétrons.

Passo 3

Como a distância r é a mesma nas duas fórmulas e estamos procurando o equilíbrio entre as forças ( Fg = Fe), podemos igualar as duas expressões:
G m^2r^2 = k e^2r^2
Perceba que o r^2 aparece dos dois lados e pode ser cancelado:
G m^2 = k e^2

Passo 4

Agora, queremos resolver para a massa m. Ficando assim:
m^2 = k e^2G
E, portanto,
m = raiz k e^2G

Passo 5

Vamos substituir os valores das constantes na equação:
  • k = 8.988 times 10^9 , N·m^2/C^2
  • e = 1.602 times 10^-19 , C
  • G = 6.674 times 10^-11 , N·m^2/kg^2
Então,
m = raiz 8.988 times 10^9 times (1.602 times 10^-19)^26.674 times 10^-11

Passo 6

Vamos calcular o numerador primeiro:
k e^2 = 8.988 times 10^9 times (1.602 times 10^-19)^2
Calculando e^2:
(1.602 times 10^-19)^2 = 2.566 times 10^-38 , C^2
Então,
k e^2 = 8.988 times 10^9 times 2.566 times 10^-38 = 2.306 times 10^-28 , N·m^2

Passo 7

Agora, dividimos pelo G:
2.306 times 10^-286.674 times 10^-11 = 3.452 times 10^-18
Então,
m = raiz3.452 times 10^-18 approx 5.875 times 10^-9 , kg

Resposta

A ordem de grandeza da massa do elétron necessária para que a força gravitacional iguale a força eletrostática entre dois elétrons separados por uma distância r seria aproximadamente 5.9 times 10^-9 , kg.

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