Desenvolvimento de equações
Desenvolva a expressão para a potência média (intensidade) de uma onda mecânica em um meio elástico.
Desenvolva a expressão para a potência média (intensidade) de uma onda mecânica em um meio elástico.
Passo 1
O exercício pede pra gente “desenvolver” (ou seja, ir montando passo a passo) a expressão da potência média, que é a mesma coisa que intensidade, de uma onda mecânica num meio elástico.
Conteúdo principal: ondas mecânicas senoidais, potência instantânea, média temporal e relações entre tensão, densidade de massa e velocidade de propagação.
O que vamos usar:
Conteúdo principal: ondas mecânicas senoidais, potência instantânea, média temporal e relações entre tensão, densidade de massa e velocidade de propagação.
O que vamos usar:
- Função de onda transversal
. - Definição de potência instantânea
. - Força de tração na corda
. - Relações
e (onde é densidade linear de massa).
Passo 2
Definindo a onda e a velocidade de partícula
A gente assume uma onda senoidal que viaja pra direita numa corda tensa:
A gente assume uma onda senoidal que viaja pra direita numa corda tensa:
Aqui:
-
é amplitude (deslocamento máximo). -
é número de onda. -
é frequência angular.
A velocidade transversal de cada ponto da corda é a derivada temporal:
Passo 3
Expressando a força que age na corda
Num meio elástico (corda) sob tensão , a força na direção
em cada ponto é proporcional à inclinação
:
Num meio elástico (corda) sob tensão
Isso vem da teoria de pequenas oscilações: a tração gera força proporcional à inclinação.
Passo 4
Potência instantânea transmitida
Potência instantânea é produto de força pela velocidade:
Potência instantânea é produto de força pela velocidade:
Isso dá
O sinal “–” indica direção, mas o módulo é o que interessa pro fluxo de energia.
Passo 5
Calculando a potência média
A potência média ao longo de um ciclo é
A potência média
Como
, temos
Passo 6
Substituindo relações do meio elástico
Sabemos que a velocidade de propagação é e que, em uma corda,
. Então:
Sabemos que a velocidade de propagação é
Como
, fica
Passo 7
Definindo intensidade (potência por área)
No caso de uma corda, a “área” de seção é irrelevante e chamamos diretamente de intensidade. Em meios 3D de densidade
, a fórmula fica análoga se você dividir por área de seção transversal
, levando a
No caso de uma corda, a “área” de seção é irrelevante e chamamos diretamente
Resposta
A expressão da potência média (intensidade) de uma onda mecânica numa corda elástica é
em que
• = densidade linear de massa da corda
• = velocidade de propagação da onda
• = frequência angular
• = amplitude da onda.
•
•
•
•