Desenvolvimento de equações
Desenvolva a expressão para a potência média (intensidade) de uma onda mecânica em um meio elástico.

Passo 1

O exercício pede pra gente “desenvolver” (ou seja, ir montando passo a passo) a expressão da potência média, que é a mesma coisa que intensidade, de uma onda mecânica num meio elástico.
Conteúdo principal: ondas mecânicas senoidais, potência instantânea, média temporal e relações entre tensão, densidade de massa e velocidade de propagação.
O que vamos usar:
  • Função de onda transversal .
  • Definição de potência instantânea .
  • Força de tração na corda .
  • Relações e (onde é densidade linear de massa).

Passo 2

Definindo a onda e a velocidade de partícula
A gente assume uma onda senoidal que viaja pra direita numa corda tensa:
y(x,t)=Asin(kx-omega t),
Aqui:
  • vy(x,t)=partial ypartial t =-A,omegacos(kx-omega t) é amplitude (deslocamento máximo).
  • é número de onda.
  • é frequência angular.
    A velocidade transversal de cada ponto da corda é a derivada temporal:

Passo 3

Expressando a força que age na corda
Num meio elástico (corda) sob tensão Fy(x,t)=T,partial ypartial x =Tcdot A,kcos(kx-omega t) , a força na direção em cada ponto é proporcional à inclinação :
Isso vem da teoria de pequenas oscilações: a tração gera força proporcional à inclinação.

Passo 4

Potência instantânea transmitida
Potência instantânea é produto de força pela velocidade:
P(x,t)=Fy(x,t),cdot vy(x,t) =l(T,A,kcos(kx-omega t)r);l(-A,omegacos(kx-omega t)r)
Isso dá
P(x,t)=-T,A^2,k,omega;cos^2(kx-omega t)
O sinal “–” indica direção, mas o módulo é o que interessa pro fluxo de energia.

Passo 5

Calculando a potência média
A potência média lang<= Prang<= =1Tperintegral0^TperP(x,t),dt ao longo de um ciclo é
lang<= Prang<= = T,A^2,k,omega;12 =12,T,k,omega,A^2
Como , temos

Passo 6

Substituindo relações do meio elástico
Sabemos que a velocidade de propagação é lang<= Prang<= =12,(mu,v^2),k,omega,A^2 =12,mu,v^2,A^2,k,omega e que, em uma corda, lang<= Prang<= =12,mu,v^2,A^2,omega^2v =12,mu,v,omega^2,A^2 . Então:
Como , fica

Passo 7

Definindo intensidade (potência por área)
No caso de uma corda, a “área” de seção é irrelevante e chamamos diretamente I=lang<= Prang<=S =12,rho,v,omega^2,A^2 de intensidade. Em meios 3D de densidade , a fórmula fica análoga se você dividir por área de seção transversal , levando a

Resposta

A expressão da potência média (intensidade) de uma onda mecânica numa corda elástica é
boxedI=12,mu,v,omega^2,A^2
em que
= densidade linear de massa da corda
= velocidade de propagação da onda
= frequência angular
= amplitude da onda.

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