Desenvolvimento de equações
Considere as seguintes equações de onda:
(i) y(x, t)=A cos (k x-omega t)
(ii) y(x, t)=A sin (k x+omega t)
(iii) y(x, t)=A e^k x-omega t
Verifique quais dessas equações satisfazem a equação da onda
partial^2 ypartial x^2=1v^2 partial^2 ypartial t^2

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente checar, pras três funções abaixo, se elas cumprem a famosa equação da onda
partial^2 ypartial x^2 ;=;1v^2,partial^2 ypartial t^2
Isso é conteúdo de Equações Diferenciais Parciais – mais especificamente ondas – e para resolver vamos usar derivada parcial e a regra da cadeia.

Passo 2

Função (i): partial ypartial x = A,( -sin(kx-omega t));ddx(kx-omega t) = -Ak,sin(kx-omega t) .
  1. Primeiro, derivada em partial^2 ypartial x^2 = -Ak,partialpartial xl[sin(kx-omega t)r] = -Ak,( cos(kx-omega t))cdot k = -Ak^2cos(kx-omega t) :
partial ypartial t = A,(-sin(kx-omega t));ddt(kx-omega t) = Aomega,sin(kx-omega t),
  1. Segunda derivada em partial^2 ypartial t^2 = Aomega,partialpartial t[sin(kx-omega t)] = Aomega,cos(kx-omega t),(-omega) = -Aomega^2cos(kx-omega t) :
partial^2 ypartial x^2 = -Ak^2cos(dots), 1v^2,partial^2 ypartial t^2 = 1v^2(-Aomega^2cos(dots)) = -Aomega^2v^2cos(dots)
  1. Agora em k^2 ;=;omega^2v^2 Longrightarrow v=omegak :
  1. Montando a equação da onda:
Para baterem, precisa dar
Então (i) satisfaz a equação da onda se .

Passo 3

Função (ii): partial^2 ypartial x^2=-A,k^2sin(kx+omega t), partial^2 ypartial t^2=-A,omega^2sin(kx+omega t) .
O procedimento é idêntico, só trocando por e o sinal de , mas as segundas derivadas vêm:
A comparação exige de novo , ou seja . Então (ii) também satisfaz sob a mesma condição.

Passo 4

Função (iii): partial^2 ypartial x^2 = partialpartial xl[A k e^kx-omega tr] = A k^2 e^kx-omega t .
  1. Em partial^2 ypartial t^2 = partialpartial tl[-Aomega e^kx-omega tr] = Aomega^2 e^kx-omega t :
partial^2 ypartial x^2=Ak^2 e^dots, 1v^2partial^2 ypartial t^2 =1v^2,Aomega^2 e^dots = Aomega^2v^2e^dots
  1. Em :
Comparando:
De novo bate só se , ou . Logo (iii) também satisfaz a equação da onda com essa mesma relação.

Resposta

Todas as três funções satisfazem a equação da onda
v=omegak
desde que a velocidade obedeça

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