Desenvolvimento de equações
Considere as seguintes equações de onda:
(i)
(ii)
(iii)
Verifique quais dessas equações satisfazem a equação da onda
Considere as seguintes equações de onda:
(i)
(ii)
(iii)
Verifique quais dessas equações satisfazem a equação da onda
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente checar, pras três funções abaixo, se elas cumprem a famosa equação da onda
Isso é conteúdo de Equações Diferenciais Parciais – mais especificamente ondas – e para resolver vamos usar derivada parcial e a regra da cadeia.
Passo 2
Função (i):
.
- Primeiro, derivada em
:
- Segunda derivada em
:
- Agora em
:
- Montando a equação da onda:
Para baterem, precisa dar
Então (i) satisfaz a equação da onda se
.
Passo 3
Função (ii):
.
O procedimento é idêntico, só trocando por
e o sinal de
, mas as segundas derivadas vêm:
O procedimento é idêntico, só trocando
A comparação exige de novo
, ou seja
. Então (ii) também satisfaz sob a mesma condição.
Passo 4
Função (iii):
.
- Em
:
- Em
:
Comparando:
De novo bate só se
, ou
. Logo (iii) também satisfaz a equação da onda com essa mesma relação.
Resposta
Todas as três funções satisfazem a equação da onda
desde que a velocidade obedeça
desde que a velocidade