- O que é Desigualdade de Bernoulli?
Passo 1
O enunciado quer que a gente explique o que é a Desigualdade de Bernoulli, um resultado de análise real que compara potências da forma
com a soma linear
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de desigualdades em potências e uma prova por indução em
.
Passo 2
A Desigualdade de Bernoulli diz que, se
é um inteiro maior ou igual a zero e
é um real maior ou igual a
, então
Passo 3
Para entender as hipóteses, repare que
garante
, o que faz sentido ao elevarmos à potência
. Nos casos
ou
a desigualdade é exatamente uma igualdade, pois
Para
e
a desigualdade torna-se estrita.
Passo 4
Uma prova clássica usa indução sobre
.
No passo base
temos
logo vale.
Supondo que para algum
valha
então
pois
. Assim a desigualdade vale para
e a indução está completa.
Resposta
A Desigualdade de Bernoulli afirma que, para todo inteiro
e todo real
,