1. O que é Desigualdade de Bernoulli?

Passo 1

O enunciado quer que a gente explique o que é a Desigualdade de Bernoulli, um resultado de análise real que compara potências da forma 1+x com a soma linear 1+nx. Para isso, vamos precisar usar o conceito de desigualdades em potências e uma prova por indução em n.

Passo 2

A Desigualdade de Bernoulli diz que, se n é um inteiro maior ou igual a zero e x é um real maior ou igual a -1, então
(1+x)^n \ge 1 + n x.

Passo 3

Para entender as hipóteses, repare que x\ge -1 garante 1+x\ge0, o que faz sentido ao elevarmos à potência n. Nos casos n=0 ou n=1 a desigualdade é exatamente uma igualdade, pois
(1+x)^0 = 1 = 1 + 0\cdot x,
(1+x)^1 = 1+x = 1 + 1\cdot x.
Para n\ge 2 e x\neq0 a desigualdade torna-se estrita.

Passo 4

Uma prova clássica usa indução sobre n.
No passo base n=0 temos
(1+x)^0 = 1 = 1 + 0\cdot x,
logo vale.
Supondo que para algum k\ge0 valha
(1+x)^k \ge 1 + kx,
então
(1+x)^{k+1} = (1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1 + kx) = 1 + (k+1)x + kx^2 \ge 1 + (k+1)x,
pois k x^2 \ge 0. Assim a desigualdade vale para k+1 e a indução está completa.

Resposta

A Desigualdade de Bernoulli afirma que, para todo inteiro n\ge0 e todo real x\ge-1,
(1+x)^n \ge 1 + n x.

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