Um desportista chiuta uma bola formando um ângulo de 60^{\circ} \mathrm{com} a horizontal. A velocidade inicial da bola é 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determinar: (a) o alcance; (b) a altura máxima; (c) o tempo de subida
e o tempo de voo; (d) a velocidade com que a bola atinge o solo; (e) o ângulo que forma o vector velocidade ao atingir o solo. R: 5,5 \mathrm{~m} ; 2,4 \mathrm{~m} ; 0,7 se 1,4 \mathrm{~s} ; 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado diz que uma bola é lançada com velocidade inicial \,v_0=8\mathrm{\,m/s} formando um ângulo \theta=60^\circ com a horizontal. O conteúdo é movimento oblíquo sem resistência do ar, usando decomposição vetorial, cinemática vertical e horizontal, e conservação de energia mecânica (para ver que a velocidade no impacto tem a mesma magnitude da inicial).

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial em eixos horizontal x e vertical y, com g=10\mathrm{\,m/s^2}:
v_{0x}=v_0\cos\theta=8\cos60^\circ=8\cdot\frac12=4\mathrm{\,m/s},
v_{0y}=v_0\sin\theta=8\sin60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3\approx6,928\mathrm{\,m/s}.

Passo 3

O tempo total de voo é
t_{\text{voo}}=\frac{2\,v_{0y}}{g}=\frac{2\cdot6,928}{10}\approx1,386\mathrm{\,s}\approx1,4\mathrm{\,s}.
O alcance é
R=v_{0x}\,t_{\text{voo}}=4\cdot1,386\approx5,54\mathrm{\,m}\approx5,5\mathrm{\,m}.

Passo 4

A altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade se anula; vale
h_{\max}=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{(6,928)^2}{2\cdot10}=\frac{48}{20}=2,4\mathrm{\,m}.

Passo 5

O tempo de subida (até \,v_y=0) é
t_{\text{subida}}=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{6,928}{10}\approx0,693\mathrm{\,s}\approx0,7\mathrm{\,s},
e o tempo de voo já achamos \,t_{\text{voo}}=2\,t_{\text{subida}}\approx1,4\mathrm{\,s}.

Passo 6

No instante do impacto, v_{x}=v_{0x}=4\mathrm{\,m/s} e v_{y}=-\bigl(v_{0y}\bigr)=-6,928\mathrm{\,m/s}. A magnitude da velocidade final é
\bigl|\vec v_{\text{impacto}}\bigr|=\sqrt{4^2+(-6,928)^2}=\sqrt{16+48}=8\mathrm{\,m/s}.

Passo 7

O ângulo \varphi que o vetor velocidade forma com a horizontal ao atingir o solo satisfaz
\tan\varphi=\frac{|v_y|}{v_x}=\frac{6,928}{4}=\sqrt3 \quad\Longrightarrow\quad\varphi=60^\circ.

Resposta

(a) 5,5\mathrm{\,m}
(b) 2,4\mathrm{\,m}
(c) tempo de subida 0,7\mathrm{\,s}, tempo de voo 1,4\mathrm{\,s}
(d) 8\mathrm{\,m/s}
(e) 60^\circ

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