đestão 03 (9 Pontos). Um tubo de aço com 25 mm de raio interno e 30 mm de raio externo, é encaixado, com interferência, contra outro tubo de aço com 50 mm de raio externo. A interferência radial é de 30.10^{-6} \mathrm{~m}. Pedese:
a) Pressão de interferência.
b) As tensões circunferenciais nas faces interna e externa dos tubos provenientes da interferência.
E=200 \cdot 10^{9} \mathrm{~Pa}
v=0,3

Passo 1

Resumo do enunciado e dados conhecidos (vou deixar tudo bem claro, passo a passo):\n
Temos dois tubos de aço encaixados por interferência.\n
  • Tubo interno (o “eixo”): raio interno a_1=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m} e raio externo b_1=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.\n
  • Tubo externo (o “mangote” ou luva): raio interno nominal igual ao raio externo do tubo interno ( a_2=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}) e raio externo b_2=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}. (O enunciado disse que o outro tubo tem raio externo 50\\ \mathrm{mm}; aqui assumi que o raio interno nominal dele é 30\\ \mathrm{mm}, coincidindo com o externo do primeiro, que é o caso típico de encaixe por interferência.)\n
  • Interferência radial (folga negativa) dada: \delta=30\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m}.\n
  • Propriedades do material (aço): módulo de Young E=200\cdot10^{9}\\ \mathrm{Pa} e coeficiente de Poisson \nu=0{,}3.\n
    O que o enunciado pede:\n
    a) Calcular a pressão de contato (pressão de interferência) p gerada pelo encaixe.\n
    b) Calcular as tensões circunferenciais (hoop ou \sigma_\theta) nas faces interna e externa dos tubos provenientes dessa pressão (vou dar as tensões nos pares de superfícies de cada tubo: face interna e externa do tubo interno e face interna e externa do tubo externo).\n
    Observações/assunções que vou usar (normais nesse tipo de problema): encaixe longo (solução de cilindros longos, condição de plane strain), comportamento elástico linear, perfeito contato entre as superfícies (sem folga residual), e pressões atuando somente na circunferência de contato. Agora sim começo os cálculos.

Passo 2

Teoria útil (explicando cada fórmula e cada variável) — solução de Lame para cilindros de parede espessa e deslocamento radial:\n
Para um cilindro de paredes espessas (eixo longo, condição de plane strain) com raios interno a e externo b, sujeitado a uma pressão interna p_i (positiva em sentido que comprime para dentro) e pressão externa p_o, as tensões radiais e circunferenciais são dadas por (solução de Lame):
\sigma_r(r)=A-\frac{B}{r^2},
\sigma_\theta(r)=A+\frac{B}{r^2},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições de contorno (valores de \sigma_r em r=a e r=b). As condições de contorno são
\sigma_r(a)=-p_i,\qquad \sigma_r(b)=-p_o,
note que a pressão aplicada sobre a superfície gera uma tensão radial negativa (compressão), por isso o sinal “-”.\n
Resolvendo para A e B obtemos:
A=\frac{p_i a^2 - p_o b^2}{b^2-a^2},\qquad B=\frac{a^2 b^2 (p_i-p_o)}{b^2-a^2}.
Explicação das variáveis: r é a coordenada radial onde avaliamos a tensão, a e b são raios interno e externo do cilindro, p_i pressão interna, p_o pressão externa.\n
Deslocamento radial (condição de plane strain) — derivação curta e resultado usado: a partir das relações de deformação e do Hooke em plane strain, o deslocamento radial u(r) (positivo para deslocamento para fora) pode ser escrito como
u(r)=\frac{1}{E}\left[ A(1-\nu-2\nu^2)\,r + B(1+\nu)\frac{1}{r}\right].
Aqui E é o módulo de Young e \nu é o coeficiente de Poisson. Essa expressão nos dá quanto um ponto à distância r do eixo se desloca radialmente devido às tensões geradas por p_i e p_o.\n
Estratégia para o problema: cada tubo será tratado como um cilindro de parede espessa com pressões nas superfícies: para o tubo interno temos p_i=0 (buraco interno livre) e p_o=p (pressão de contato na sua face externa); para o tubo externo temos p_i=p (pressão de contato na sua face interna) e p_o=0 (superfície externa livre). A interferência \delta é a soma do deslocamento radial para fora da face interna do mangote e da contração (em módulo) da face externa do eixo; portanto \delta = u_{\text{mangote, }r=a_2} + \big|\;u_{\text{eixo, }r=b_1}\;\big|. Como u é linear em p, resolveremos \delta = p(C_1 + C_2) para p.

Passo 3

Aplicação à geometria do tubo interno (eixo):\n
Dados do tubo interno: a_1=0{,}025\\ \mathrm{m}, b_1=0{,}03\\ \mathrm{m}. Pressões: p_{i1}=0, p_{o1}=p.\n
Constantes A_1 e B_1:
A_1=\frac{p_{i1}a_1^2-p_{o1}b_1^2}{b_1^2-a_1^2}=\frac{0-p\,b_1^2}{b_1^2-a_1^2}=-\frac{p\,b_1^2}{b_1^2-a_1^2},
B_1=\frac{a_1^2 b_1^2(p_{i1}-p_{o1})}{b_1^2-a_1^2}=\frac{a_1^2 b_1^2(0-p)}{b_1^2-a_1^2}=-\frac{p\,a_1^2 b_1^2}{b_1^2-a_1^2}.
Deslocamento radial na face externa do eixo (em r=b_1):
u_{1}(b_1)=\frac{1}{E}\Big[ A_1(1-\nu-2\nu^2)\,b_1 + B_1(1+\nu)\frac{1}{b_1}\Big].
Substituindo A_1 e B_1 e arrumando, obtemos uma forma proporcional a p:
u_{1}(b_1)=-p\;\frac{b_1}{E(b_1^2-a_1^2)}\Big[\,b_1^2(1-\nu-2\nu^2)+a_1^2(1+\nu)\,\Big].
Agora calculo o coeficiente numérico (que dá deslocamento por unidade de pressão). Primeiro avalio os termos internos (com \nu=0{,}3, E=200\cdot10^9\\ \mathrm{Pa}):\n
1-\nu-2\nu^2=1-0{,}3-2(0{,}09)=1-0{,}3-0{,}18=0{,}52,\qquad 1+\nu=1{,}3.
b_1^2(1-\nu-2\nu^2)+a_1^2(1+\nu)=0{,}0009\cdot0{,}52+0{,}000625\cdot1{,}3=0{,}0012805.
\frac{b_1}{E(b_1^2-a_1^2)}=\frac{0{,}03}{200\cdot10^9\cdot(0{,}0009-0{,}000625)}=\frac{0{,}03}{200\cdot10^9\cdot0{,}000275}=5{,}454545\times10^{-10}\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{Pa}}.
Multiplicando tudo:
u_{1}(b_1)=-p\cdot 6{,}9836\times10^{-13}\\ \mathrm{m/Pa}.
Ou seja, o módulo da contração da face externa do eixo por unidade de pressão é 6{,}9836\times10^{-13}\\ \mathrm{m/Pa}.

Passo 4

Aplicação à geometria do tubo externo (mangote):\n
Dados do mangote: a_2=0{,}03\\ \mathrm{m}, b_2=0{,}05\\ \mathrm{m}. Pressões: p_{i2}=p, p_{o2}=0.\n
Constantes A_2 e B_2:
A_2=\frac{p_{i2}a_2^2-p_{o2}b_2^2}{b_2^2-a_2^2}=\frac{p\,a_2^2-0}{b_2^2-a_2^2}=\frac{p\,a_2^2}{b_2^2-a_2^2},
B_2=\frac{a_2^2 b_2^2(p_{i2}-p_{o2})}{b_2^2-a_2^2}=\frac{a_2^2 b_2^2(p-0)}{b_2^2-a_2^2}=\frac{p\,a_2^2 b_2^2}{b_2^2-a_2^2}.
Deslocamento radial na face interna do mangote (em r=a_2), que corresponde à expansão para fora:
u_{2}(a_2)=\frac{1}{E}\Big[ A_2(1-\nu-2\nu^2)\,a_2 + B_2(1+\nu)\frac{1}{a_2}\Big].
Substituindo A_2,B_2 e rearranjando:
u_{2}(a_2)=p\;\frac{a_2}{E(b_2^2-a_2^2)}\Big[\,a_2^2(1-\nu-2\nu^2)+b_2^2(1+\nu)\,\Big].
Calculo numérico dos termos (usando valores anteriores para as constantes com \nu=0{,}3):\n
a_2^2(1-\nu-2\nu^2)+b_2^2(1+\nu)=0{,}0009\cdot0{,}52+0{,}0025\cdot1{,}3=0{,}003718.
\frac{a_2}{E(b_2^2-a_2^2)}=\frac{0{,}03}{200\cdot10^9\cdot(0{,}0025-0{,}0009)}=\frac{0{,}03}{200\cdot10^9\cdot0{,}0016}=9{,}375\times10^{-11}\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{Pa}}.
Multiplicando:
u_{2}(a_2)=p\cdot 3{,}4860\times10^{-13}\\ \mathrm{m/Pa}.
Ou seja, a expansão da face interna do mangote por unidade de pressão é 3{,}4860\times10^{-13}\\ \mathrm{m/Pa}.

Passo 5

Impondo a condição de interferência e calculando p:\n
A interferência total \delta é a soma da expansão do mangote na sua face interna e da contração (módulo) do eixo na sua face externa:
\delta = u_{2}(a_2) - u_{1}(b_1).
Note que u_{1}(b_1) saiu negativo (movimento para dentro), por isso subtrai-se. Como ambos os deslocamentos são proporcionais a p, escrevemos
\delta = p\big(C_1 + C_2\big),
onde C_1=6{,}9836\times10^{-13}\\ \mathrm{m/Pa} (módulo da contração do eixo) e C_2=3{,}4860\times10^{-13}\\ \mathrm{m/Pa} (expansão do mangote).\n
Somando:
C_1+C_2=1{,}04696\times10^{-12}\\ \mathrm{m/Pa}.
Logo a pressão é
p=\frac{\delta}{C_1+C_2}=\frac{30\times10^{-6}}{1{,}04696\times10^{-12}}=2{,}8655\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\approx 2{,}87\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais amigáveis:
p\approx 28{,}7\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Cálculo das tensões circunferenciais ( \sigma_\theta) nas faces internas e externas de cada tubo, usando \sigma_\theta(r)=A+\dfrac{B}{r^2} com os A,B já definidos.\n
Primeiro vou reescrever os A e B para cada tubo de forma conveniente:\n
Tubo interno (eixo), a_1=0{,}025\\ \mathrm{m}, b_1=0{,}03\\ \mathrm{m}, p_{i1}=0, p_{o1}=p:
A_1=-\frac{p\,b_1^2}{b_1^2-a_1^2},\qquad B_1=-\frac{p\,a_1^2 b_1^2}{b_1^2-a_1^2}.
Tensões circunferenciais do eixo:\n
  • Na face interna ( r=a_1):
\sigma_{\theta,\,\text{eixo}}(a_1)=A_1+\frac{B_1}{a_1^2}=-\frac{p\,b_1^2}{b_1^2-a_1^2}-\frac{p\,a_1^2 b_1^2}{(b_1^2-a_1^2)a_1^2}=-\frac{2p\,b_1^2}{b_1^2-a_1^2}.
  • Na face externa ( r=b_1):
\sigma_{\theta,\,\text{eixo}}(b_1)=A_1+\frac{B_1}{b_1^2}=-\frac{p\,b_1^2}{b_1^2-a_1^2}-\frac{p\,a_1^2 b_1^2}{(b_1^2-a_1^2)b_1^2}=-\frac{p(b_1^2+a_1^2)}{b_1^2-a_1^2}.
Substituindo valores numéricos com p=2{,}8655\times10^7\\ \mathrm{Pa}, b_1^2-a_1^2=0{,}000275, b_1^2=0{,}0009, a_1^2=0{,}000625:\n
\sigma_{\theta,\,\text{eixo}}(a_1)=-\frac{2p\cdot0{,}0009}{0{,}000275}=-6{,}54545\,p\approx -6{,}54545\cdot2{,}8655\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\approx -1{,}876\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
\sigma_{\theta,\,\text{eixo}}(b_1)=-\frac{p(0{,}0009+0{,}000625)}{0{,}000275}=-5{,}54545\,p\approx -5{,}54545\cdot2{,}8655\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\approx -1{,}589\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para MPa:
\sigma_{\theta,\,\text{eixo}}(a_1)\approx -187{,}6\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{\theta,\,\text{eixo}}(b_1)\approx -158{,}9\\ \mathrm{MPa}.
(Sinal negativo = compressão circunferencial.)
Agora para o mangote (tubo externo), a_2=0{,}03\\ \mathrm{m}, b_2=0{,}05\\ \mathrm{m}, p_{i2}=p, p_{o2}=0:
A_2=\frac{p\,a_2^2}{b_2^2-a_2^2},\qquad B_2=\frac{p\,a_2^2 b_2^2}{b_2^2-a_2^2}.
Tensões circunferenciais do mangote:\n
  • Na face interna ( r=a_2):
\sigma_{\theta,\,\text{mangote}}(a_2)=A_2+\frac{B_2}{a_2^2}=\frac{p\,a_2^2}{b_2^2-a_2^2}+\frac{p\,a_2^2 b_2^2}{(b_2^2-a_2^2)a_2^2}=\frac{p(a_2^2+b_2^2)}{b_2^2-a_2^2}.
  • Na face externa ( r=b_2):
\sigma_{\theta,\,\text{mangote}}(b_2)=A_2+\frac{B_2}{b_2^2}=\frac{p\,a_2^2}{b_2^2-a_2^2}+\frac{p\,a_2^2 b_2^2}{(b_2^2-a_2^2)b_2^2}=\frac{2p\,a_2^2}{b_2^2-a_2^2}.
Substituindo numericamente ( b_2^2-a_2^2=0{,}0016, a_2^2=0{,}0009, b_2^2=0{,}0025):\n
\sigma_{\theta,\,\text{mangote}}(a_2)=\frac{p(0{,}0009+0{,}0025)}{0{,}0016}=2{,}125\,p\approx 2{,}125\cdot2{,}8655\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\approx 6{,}087\times10^{7}\\ \mathrm{Pa},
\sigma_{\theta,\,\text{mangote}}(b_2)=\frac{2p\cdot0{,}0009}{0{,}0016}=1{,}125\,p\approx 1{,}125\cdot2{,}8655\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\approx 3{,}225\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Em MPa:
\sigma_{\theta,\,\text{mangote}}(a_2)\approx +60{,}9\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{\theta,\,\text{mangote}}(b_2)\approx +32{,}3\\ \mathrm{MPa}.
(Sinal positivo = tração circunferencial.)

Passo 7

Breve interpretação final (sintética e animadora): a pressão de contato é da ordem de dezenas de MPa (aqui \approx 28{,}7\\ \mathrm{MPa} ) — nada impossível para um encaixe de interferência — e provoca compressão circunferencial forte no tubo interno (valor negativo, até cerca de -188\\ \mathrm{MPa} na parede interna) e tração moderada no mangote (até cerca de 61\\ \mathrm{MPa} na face interna). Essas tensões são as que aparecem imediatamente após o encaixe elástico; se houver plastificação ou outras condições reais, o cálculo muda, mas para prova/elástico linear esta é a resposta.\n
Agora deixo só as respostas finais, organizadas como você pediu.

Resposta

(a) p\approx 2{,}8655\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\approx 28{,}7\\ \mathrm{MPa}\n
(b) Tensões circunferenciais (hoop) nas faces internas e externas: \n
Tubo interno (eixo): \sigma_{\theta}(r=a_1)\approx -187{,}6\\ \mathrm{MPa} (face interna, compressão)\n
Tubo interno (eixo): \sigma_{\theta}(r=b_1)\approx -158{,}9\\ \mathrm{MPa} (face externa, compressão)\n
Tubo externo (mangote): \sigma_{\theta}(r=a_2)\approx +60{,}9\\ \mathrm{MPa} (face interna, tração)\n
Tubo externo (mangote): \sigma_{\theta}(r=b_2)\approx +32{,}3\\ \mathrm{MPa} (face externa, tração)

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