đestão 03 (9 Pontos). Um tubo de aço com 25 mm de raio interno e 30 mm de raio externo, é encaixado, com interferência, contra outro tubo de aço com 50 mm de raio externo. A interferência radial é de 30.10^{-6} \mathrm{~m}. Pedese:
a) Pressão de interferência.
b) As tensões circunferenciais nas faces interna e externa dos tubos provenientes da interferência. E=200 \cdot 10^{9} \mathrm{~Pa}
v=0,3
Passo 1
Resumo do enunciado e dados conhecidos (vou deixar tudo bem claro, passo a passo):\n
Temos dois tubos de aço encaixados por interferência.\n
Tubo interno (o “eixo”): raio interno a_1=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m} e raio externo b_1=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.\n
Tubo externo (o “mangote” ou luva): raio interno nominal igual ao raio externo do tubo interno (a_2=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}) e raio externo b_2=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}. (O enunciado disse que o outro tubo tem raio externo 50\\ \mathrm{mm}; aqui assumi que o raio interno nominal dele é 30\\ \mathrm{mm}, coincidindo com o externo do primeiro, que é o caso típico de encaixe por interferência.)\n
Propriedades do material (aço): módulo de Young E=200\cdot10^{9}\\ \mathrm{Pa} e coeficiente de Poisson \nu=0{,}3.\n
O que o enunciado pede:\n
a) Calcular a pressão de contato (pressão de interferência) p gerada pelo encaixe.\n
b) Calcular as tensões circunferenciais (hoop ou \sigma_\theta) nas faces interna e externa dos tubos provenientes dessa pressão (vou dar as tensões nos pares de superfícies de cada tubo: face interna e externa do tubo interno e face interna e externa do tubo externo).\n
Observações/assunções que vou usar (normais nesse tipo de problema): encaixe longo (solução de cilindros longos, condição de plane strain), comportamento elástico linear, perfeito contato entre as superfícies (sem folga residual), e pressões atuando somente na circunferência de contato. Agora sim começo os cálculos.
Passo 2
Teoria útil (explicando cada fórmula e cada variável) — solução de Lame para cilindros de parede espessa e deslocamento radial:\n
Para um cilindro de paredes espessas (eixo longo, condição de plane strain) com raios interno a e externo b, sujeitado a uma pressão interna p_i (positiva em sentido que comprime para dentro) e pressão externa p_o, as tensões radiais e circunferenciais são dadas por (solução de Lame):
\sigma_r(r)=A-\frac{B}{r^2},
\sigma_\theta(r)=A+\frac{B}{r^2},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições de contorno (valores de \sigma_r em r=a e r=b). As condições de contorno são
\sigma_r(a)=-p_i,\qquad \sigma_r(b)=-p_o,
note que a pressão aplicada sobre a superfície gera uma tensão radial negativa (compressão), por isso o sinal “-”.\n
Resolvendo para A e B obtemos:
Explicação das variáveis: r é a coordenada radial onde avaliamos a tensão, a e b são raios interno e externo do cilindro, p_i pressão interna, p_o pressão externa.\n
Deslocamento radial (condição de plane strain) — derivação curta e resultado usado: a partir das relações de deformação e do Hooke em plane strain, o deslocamento radial u(r) (positivo para deslocamento para fora) pode ser escrito como
Aqui E é o módulo de Young e \nu é o coeficiente de Poisson. Essa expressão nos dá quanto um ponto à distância r do eixo se desloca radialmente devido às tensões geradas por p_i e p_o.\n
Estratégia para o problema: cada tubo será tratado como um cilindro de parede espessa com pressões nas superfícies: para o tubo interno temos p_i=0 (buraco interno livre) e p_o=p (pressão de contato na sua face externa); para o tubo externo temos p_i=p (pressão de contato na sua face interna) e p_o=0 (superfície externa livre). A interferência \delta é a soma do deslocamento radial para fora da face interna do mangote e da contração (em módulo) da face externa do eixo; portanto \delta = u_{\text{mangote, }r=a_2} + \big|\;u_{\text{eixo, }r=b_1}\;\big|. Como u é linear em p, resolveremos \delta = p(C_1 + C_2) para p.
Passo 3
Aplicação à geometria do tubo interno (eixo):\n
Dados do tubo interno: a_1=0{,}025\\ \mathrm{m}, b_1=0{,}03\\ \mathrm{m}. Pressões: p_{i1}=0, p_{o1}=p.\n
Constantes A_1 e B_1:
Agora calculo o coeficiente numérico (que dá deslocamento por unidade de pressão). Primeiro avalio os termos internos (com \nu=0{,}3, E=200\cdot10^9\\ \mathrm{Pa}):\n
Ou seja, o módulo da contração da face externa do eixo por unidade de pressão é 6{,}9836\times10^{-13}\\ \mathrm{m/Pa}.
Passo 4
Aplicação à geometria do tubo externo (mangote):\n
Dados do mangote: a_2=0{,}03\\ \mathrm{m}, b_2=0{,}05\\ \mathrm{m}. Pressões: p_{i2}=p, p_{o2}=0.\n
Constantes A_2 e B_2:
Ou seja, a expansão da face interna do mangote por unidade de pressão é 3{,}4860\times10^{-13}\\ \mathrm{m/Pa}.
Passo 5
Impondo a condição de interferência e calculando p:\n
A interferência total \delta é a soma da expansão do mangote na sua face interna e da contração (módulo) do eixo na sua face externa:
\delta = u_{2}(a_2) - u_{1}(b_1).
Note que u_{1}(b_1) saiu negativo (movimento para dentro), por isso subtrai-se. Como ambos os deslocamentos são proporcionais a p, escrevemos
\delta = p\big(C_1 + C_2\big),
onde C_1=6{,}9836\times10^{-13}\\ \mathrm{m/Pa} (módulo da contração do eixo) e C_2=3{,}4860\times10^{-13}\\ \mathrm{m/Pa} (expansão do mangote).\n
Somando:
Cálculo das tensões circunferenciais (\sigma_\theta) nas faces internas e externas de cada tubo, usando \sigma_\theta(r)=A+\dfrac{B}{r^2} com os A,B já definidos.\n
Primeiro vou reescrever os A e B para cada tubo de forma conveniente:\n
Tubo interno (eixo), a_1=0{,}025\\ \mathrm{m}, b_1=0{,}03\\ \mathrm{m}, p_{i1}=0, p_{o1}=p:
Breve interpretação final (sintética e animadora): a pressão de contato é da ordem de dezenas de MPa (aqui \approx 28{,}7\\ \mathrm{MPa} ) — nada impossível para um encaixe de interferência — e provoca compressão circunferencial forte no tubo interno (valor negativo, até cerca de -188\\ \mathrm{MPa} na parede interna) e tração moderada no mangote (até cerca de 61\\ \mathrm{MPa} na face interna). Essas tensões são as que aparecem imediatamente após o encaixe elástico; se houver plastificação ou outras condições reais, o cálculo muda, mas para prova/elástico linear esta é a resposta.\n
Agora deixo só as respostas finais, organizadas como você pediu.