15.48 No sistema de engrenagens planetárias mostrado, o raio das engrenagens A, B, C e D é a, e o raio da outra engrenagem E é 3a. Sabendo que a velocidade angular da engrenagem A é \omega_{A} no sentido horário e que a engrenagem externa E é fixa, determine (a) a velocidade angular de cada engrenagem planetária, (b) a velocidade angular do suporte de conexão das engrenagens planetárias.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados:
    • As engrenagens A, B, C e D têm raio a.
    • A engrenagem externa E tem raio 3a e está fixa.
    • A velocidade angular da engrenagem A é \omega_{A} no sentido horário (isto é, que gira no sentido horário com magnitude \omega_{A}).
    • As quatro engrenagens A,B,C,D estão montadas no mesmo suporte (suporte de conexão) que faz com que os centros das engrenagens descrevam um movimento circular comum ao girar o suporte.
  • Perguntas:
    • (a) Determine a velocidade angular de cada engrenagem planetária B, C e D (em relação ao quadro fixo), em função de \omega_{A} e indicando o sentido.
    • (b) Determine a velocidade angular do suporte que conecta as engrenagens planetárias (denotarei por \Omega), em função de \omega_{A} e indicando o sentido.
Observação importante (para evitar confusão mais adiante): vou adotar como convensão de sinal que velocidades angulares positivas são no sentido anti-horário (CCW). Então uma velocidade “no sentido horário” será representada por um valor negativo quando eu escrever equações com sinal.

Passo 2

Entendimento físico e fórmula básica (sem deslize, passo a passo):
Quando uma engrenagem pequena de raio r gira sem deslizar em contato com uma coroa fixa de raio R (gusset interno), o ponto de contato entre a engrenagem pequena e a coroa deve ter velocidade nula em relação ao quadro fixo. Nesse caso há duas contribuições ao movimento do ponto de contato da engrenagem pequena:
  • o movimento do centro da pequena ao girar junto com o suporte (velocidade tangencial do centro);
  • a rotação da pequena em torno do próprio centro (velocidade tangencial relativa à rotação da engrenagem).
Se o centro da engrenagem pequena descreve um movimento circular com velocidade angular do suporte \Omega (convencionalmente CCW positivo), o centro está a uma distância R-r do centro da coroa, e sua velocidade tangencial (módulo) é |\Omega|(R-r). A velocidade tangencial do contorno da engrenagem devido à sua rotação própria tem módulo |\omega|r, onde \omega é a velocidade angular da engrenagem (positiva CCW).
Para que não haja deslizamento no ponto de contato com a coroa fixa, as duas velocidades tangenciais devem se anular uma à outra (mesma linha tangente, sentidos opostos). Em termos de sinais (CCW positivo) isso dá a relação
\omega\,r + \Omega\,(R-r)=0,
ou seja
\omega = -\Omega\,\frac{R-r}{r}.
Aqui:
  • \Omega é a velocidade angular do suporte (positiva para CCW),
  • \omega é a velocidade angular da engrenagem considerada (positiva para CCW),
  • R é o raio interno da coroa fixa,
  • r é o raio da engrenagem planetária.
Essa fórmula é a consequência direta da condição “velocidade do ponto de contato relativa à coroa fixa = 0”.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso (valores numéricos):
No problema, para qualquer engrenagem planetária temos
R = 3a,\qquad r = a,
então
\frac{R-r}{r}=\frac{3a-a}{a}=\frac{2a}{a}=2.
Substituindo na relação anterior obtemos a relação numérica simples entre a velocidade angular \omega de cada engrenagem planetária (absoluta, no referencial fixo) e a velocidade angular \Omega do suporte:
\omega = -2\Omega.
Interpretação: cada engrenagem planetária gira com o dobro da velocidade angular do suporte e no sentido oposto (por isso o sinal negativo).

Passo 4

Relacionando com a velocidade dada \omega_{A} (atenção ao sentido):
A engrenagem A tem velocidade \omega_{A} no sentido horário. Pela nossa convenção CCW positivo, isso significa que a velocidade angular numérica com sinal da engrenagem A é -\omega_{A} (isto é, \omega_A é a magnitude e o sentido é horário, portanto sinal negativo).
Usamos a relação do passo anterior com \omega=\omega_A (com sinal):
\omega_A\\ (\text{com sinal}) = -2\Omega.
Como \omega_A no enunciado é horário (valor negativo na nossa convenção), escrevemos explicitamente:
-\omega_{A} = -2\Omega.
Cancelando o sinal negativo em ambos os lados:
\omega_{A} = 2\Omega.
Portanto
\Omega = \tfrac{1}{2}\,\omega_{A}.
Mas atenção ao sentido: a equação acima foi obtida partindo de \omega_A sendo a magnitude associada ao sentido horário; a igualdade nos diz que \Omega (no sentido CCW positivo) é positiva quando \omega_A é positivo na magnitude dada. Em termos diretos de sentidos: se A gira no sentido horário com magnitude \omega_{A}, o suporte gira no sentido anti-horário com magnitude \tfrac{1}{2}\omega_{A}. Em notação com sinal (CCW positivo) a resposta é
\Omega = -\tfrac{1}{2}(-\omega_{A}) = -\tfrac{1}{2}\,\omega_{A}\quad\text{(se interpretarmos \(\omega_{A}\) já como negativo quando horário).}áá
Para evitar confusão: mais simples e direto — o suporte gira no sentido oposto a A (logo, se A é horário, o suporte é anti-horário) com magnitude \tfrac{1}{2}\omega_{A}.

Passo 5

Velocidade das outras engrenagens planetárias B,C,D:
Todas as engrenagens planetárias têm o mesmo raio a e todos os seus centros descrevem o mesmo movimento rigidamente ligado ao suporte (mesma \Omega). Logo, a relação do passo 3 vale para cada uma delas:
\omega_B = -2\Omega,\qquad \omega_C = -2\Omega,\qquad \omega_D = -2\Omega.
Usando \Omega = \tfrac{1}{2}\omega_{A} (sentido anti-horário quando A é horário), temos numericamente
\omega_B=\omega_C=\omega_D=\omega_{A}.
Interpretação de sentido: as engrenagens B,C,D giram no mesmo sentido que A (isto é, também no sentido horário) e com a mesma magnitude \omega_{A}. Isso tem sentido físico: cada engrenagem pequena que rola sem deslizar na coroa fixa tem sua rotação absoluta determinada somente por \Omega e pela relação geométrica; como são idênticas e estão no mesmo suporte, todas têm a mesma rotação absoluta.

Resposta

\omega_B=\omega_C=\omega_D=\omega_{A} (mesmo sentido que A, isto é, horário, magnitude \omega_{A}).\n \Omega=\tfrac{1}{2}\,\omega_{A} (o suporte gira no sentido oposto ao de A; se A é horário, o suporte é anti-horário, com magnitude \tfrac{1}{2}\omega_{A}).

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