15.48 No sistema de engrenagens planetárias mostrado, o raio das engrenagens
e
é
, e o raio da outra engrenagem
é 3a. Sabendo que a velocidade angular da engrenagem
é
no sentido horário e que a engrenagem externa
é fixa, determine (a) a velocidade angular de cada engrenagem planetária, (b) a velocidade angular do suporte de conexão das engrenagens planetárias.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
-
Dados:
- As engrenagens
, , e têm raio . - A engrenagem externa
tem raio e está fixa. - A velocidade angular da engrenagem
é no sentido horário (isto é, que gira no sentido horário com magnitude ). - As quatro engrenagens
estão montadas no mesmo suporte (suporte de conexão) que faz com que os centros das engrenagens descrevam um movimento circular comum ao girar o suporte.
- As engrenagens
-
Perguntas:
- (a) Determine a velocidade angular de cada engrenagem planetária
, e (em relação ao quadro fixo), em função de e indicando o sentido. - (b) Determine a velocidade angular do suporte que conecta as engrenagens planetárias (denotarei por
), em função de e indicando o sentido.
- (a) Determine a velocidade angular de cada engrenagem planetária
Observação importante (para evitar confusão mais adiante): vou adotar como convensão de sinal que velocidades angulares positivas são no sentido anti-horário (CCW). Então uma velocidade “no sentido horário” será representada por um valor negativo quando eu escrever equações com sinal.
Passo 2
Entendimento físico e fórmula básica (sem deslize, passo a passo):
Quando uma engrenagem pequena de raio
gira sem deslizar em contato com uma coroa fixa de raio
(gusset interno), o ponto de contato entre a engrenagem pequena e a coroa deve ter velocidade nula em relação ao quadro fixo. Nesse caso há duas contribuições ao movimento do ponto de contato da engrenagem pequena:
- o movimento do centro da pequena ao girar junto com o suporte (velocidade tangencial do centro);
- a rotação da pequena em torno do próprio centro (velocidade tangencial relativa à rotação da engrenagem).
Se o centro da engrenagem pequena descreve um movimento circular com velocidade angular do suporte
(convencionalmente CCW positivo), o centro está a uma distância
do centro da coroa, e sua velocidade tangencial (módulo) é
. A velocidade tangencial do contorno da engrenagem devido à sua rotação própria tem módulo
, onde
é a velocidade angular da engrenagem (positiva CCW).
Para que não haja deslizamento no ponto de contato com a coroa fixa, as duas velocidades tangenciais devem se anular uma à outra (mesma linha tangente, sentidos opostos). Em termos de sinais (CCW positivo) isso dá a relação
ou seja
Aqui:
-
é a velocidade angular do suporte (positiva para CCW), -
é a velocidade angular da engrenagem considerada (positiva para CCW), -
é o raio interno da coroa fixa, -
é o raio da engrenagem planetária.
Essa fórmula é a consequência direta da condição “velocidade do ponto de contato relativa à coroa fixa = 0”.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso (valores numéricos):
No problema, para qualquer engrenagem planetária temos
então
Substituindo na relação anterior obtemos a relação numérica simples entre a velocidade angular
de cada engrenagem planetária (absoluta, no referencial fixo) e a velocidade angular
do suporte:
Interpretação: cada engrenagem planetária gira com o dobro da velocidade angular do suporte e no sentido oposto (por isso o sinal negativo).
Passo 4
Relacionando com a velocidade dada
(atenção ao sentido):
A engrenagem
tem velocidade
no sentido horário. Pela nossa convenção CCW positivo, isso significa que a velocidade angular numérica com sinal da engrenagem
é
(isto é,
é a magnitude e o sentido é horário, portanto sinal negativo).
Usamos a relação do passo anterior com
(com sinal):
Como
no enunciado é horário (valor negativo na nossa convenção), escrevemos explicitamente:
Cancelando o sinal negativo em ambos os lados:
Portanto
Mas atenção ao sentido: a equação acima foi obtida partindo de
sendo a magnitude associada ao sentido horário; a igualdade nos diz que
(no sentido CCW positivo) é positiva quando
é positivo na magnitude dada. Em termos diretos de sentidos: se
gira no sentido horário com magnitude
, o suporte gira no sentido anti-horário com magnitude
. Em notação com sinal (CCW positivo) a resposta é
Para evitar confusão: mais simples e direto — o suporte gira no sentido oposto a
(logo, se
é horário, o suporte é anti-horário) com magnitude
.
Passo 5
Velocidade das outras engrenagens planetárias
:
Todas as engrenagens planetárias têm o mesmo raio
e todos os seus centros descrevem o mesmo movimento rigidamente ligado ao suporte (mesma
). Logo, a relação do passo 3 vale para cada uma delas:
Usando
(sentido anti-horário quando
é horário), temos numericamente
Interpretação de sentido: as engrenagens
giram no mesmo sentido que
(isto é, também no sentido horário) e com a mesma magnitude
. Isso tem sentido físico: cada engrenagem pequena que rola sem deslizar na coroa fixa tem sua rotação absoluta determinada somente por
e pela relação geométrica; como são idênticas e estão no mesmo suporte, todas têm a mesma rotação absoluta.