Uma partícula, originalmente em repouso e localizada no ponto ( 3 \mathrm{ft}, 2 \mathrm{ft}, 5 \mathrm{ft} ), está sujeita a uma aceleração de a= \left\{6 t \boldsymbol{i}+12 t^{2} \boldsymbol{k}\right\} \mathrm{ft} / \mathbf{s}^{2}. Determine a posição da partícula (x, y, z) em t=1 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado pede a posição da partícula (x,y,z) no instante t=1\\ \mathrm{s}. Informações dadas:
\mathbf{a}(t)=6t\,\mathbf{i}+12t^{2}\,\mathbf{k} em unidades de \mathrm{ft}/\mathrm{s}^{2}.
A partícula está inicialmente em repouso (ou seja, velocidade inicial é zero) e a posição inicial é (3\\ \mathrm{ft},\,2\\ \mathrm{ft},\,5\\ \mathrm{ft}) no instante t=0.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): aceleração, velocidade e posição estão relacionados por derivadas e integrais. Seja \mathbf{r}(t) a posição, \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} a velocidade e \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt} a aceleração. Para obter \mathbf{v}(t) a partir de \mathbf{a}(t) fazemos uma primitiva (integração):
\mathbf{v}(t)=\mathbf{v}(0)+\int_{0}^{t}\mathbf{a}(s)\,ds.
Aqui \mathbf{v}(0) é a velocidade inicial (no problema é zero). Depois, para obter \mathbf{r}(t) integramos \mathbf{v}(t):
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(0)+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(s)\,ds,
onde \mathbf{r}(0) é a posição inicial (3,2,5). Essa é a estratégia: integrar componente a componente.

Passo 3

Escrevemos a aceleração por componentes (peguei os coeficientes da expressão dada no enunciado):
\mathbf{a}(t)=\langle 6t,\;0,\;12t^{2}\rangle.
Integramos componente a componente para obter a velocidade. Como a partícula está em repouso inicialmente, \mathbf{v}(0)=\langle 0,0,0\rangle.
Integrando a componente x:
v_x(t)=\int_{0}^{t}6s\,ds = \left[3s^{2}\right]_{0}^{t}=3t^{2}.
Integrando a componente y:
v_y(t)=\int_{0}^{t}0\,ds = 0.
Integrando a componente z:
v_z(t)=\int_{0}^{t}12s^{2}\,ds = \left[4s^{3}\right]_{0}^{t}=4t^{3}.
Portanto
\mathbf{v}(t)=\langle 3t^{2},\;0,\;4t^{3}\rangle\quad\text{(em \(\mathrm{ft}/\mathrm{s}\)).}

Passo 4

Agora integramos \mathbf{v}(t) para obter \mathbf{r}(t). A posição inicial é \mathbf{r}(0)=\langle 3\\ \mathrm{ft},\,2\\ \mathrm{ft},\,5\\ \mathrm{ft}\rangle.
Integrando a componente x:
x(t)=3\\ \mathrm{ft}+\int_{0}^{t}3s^{2}\,ds = 3\\ \mathrm{ft}+\left[s^{3}\right]_{0}^{t}=3\\ \mathrm{ft}+t^{3}.
Integrando a componente y:
y(t)=2\\ \mathrm{ft}+\int_{0}^{t}0\,ds = 2\\ \mathrm{ft}.
Integrando a componente z:
z(t)=5\\ \mathrm{ft}+\int_{0}^{t}4s^{3}\,ds = 5\\ \mathrm{ft}+\left[s^{4}\right]_{0}^{t}=5\\ \mathrm{ft}+t^{4}.
Assim
\mathbf{r}(t)=\langle 3+t^{3},\;2,\;5+t^{4}\rangle\quad\text{(unidades em \(\mathrm{ft}\)).}

Passo 5

Agora avaliamos em t=1\\ \mathrm{s}. Substituindo t=1 nas expressões:
x(1)=3+1^{3}=3+1=4\\ \mathrm{ft},
y(1)=2\\ \mathrm{ft},
z(1)=5+1^{4}=5+1=6\\ \mathrm{ft}.

Resposta

(4\\ \mathrm{ft},\\\ 2\\ \mathrm{ft},\\\ 6\\ \mathrm{ft})

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