1. Determina o número de termo de uma progressão geométrica: PG \left(128,64,32, \ldots \ldots \frac{1}{256}\right).
    (2.0v)

Passo 1

O enunciado dá uma progressão geométrica cujos três primeiros termos são 128,\,64,\,32 e diz que em algum termo aparece \tfrac{1}{256}. O conteúdo é PG (progressão geométrica) e vamos usar a definição de razão constante e a fórmula do termo geral para achar o índice n tal que a_n=\tfrac{1}{256}.

Passo 2

A razão r é o quociente entre dois termos consecutivos. Assim,
r = \frac{64}{128} = \frac12.
Em qualquer PG, o termo geral é
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
Aqui a_1=128 e r=\tfrac12, logo
a_n = 128\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n-1}.

Passo 3

Igualamos a_n ao termo dado \tfrac{1}{256}:
128\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n-1} = \frac{1}{256}.
Reescrevendo tudo em potências de 2, temos
2^7 \cdot 2^{-(n-1)} = 2^{-8},
pois 128=2^7 e \tfrac1{256}=2^{-8}. Então os expoentes satisfazem
7 - (n-1) = -8.

Passo 4

Resolvendo
7 - n + 1 = -8
vem
8 - n = -8 \quad\Longrightarrow\quad n = 16.
Esse valor é inteiro e positivo, portanto faz sentido como posição na PG.

Resposta

16

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