1. Determina me n de modo que o polinómio \mathrm{P}(x)=2 x^{4}-x^{3}+m x^{2}-n x+2 seja divisível por x^{2}-x-2

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
P(x)=2x^{4}-x^{3}+m x^{2}-n x+2
e pede o valor de n de modo que ele seja divisível por
x^{2}-x-2.
Para um polinómio Q(x) de grau 2, a divisibilidade de P por Q implica que as raízes de Q são também raízes de P (teorema do resto).

Passo 2

Determinamos as raízes de
x^{2}-x-2=0.
O discriminante é \Delta=1+8=9, daí
x=\frac{1\pm3}{2},
isto é, as raízes são
x_{1}=2 \quad\text{e}\quad x_{2}=-1.

Passo 3

Pela propriedade de divisibilidade, temos
P(2)=0.
Calculamos
P(2)=2\cdot2^{4}-2^{3}+m\cdot2^{2}-n\cdot2+2 =32-8+4m-2n+2 =4m-2n+26.
Logo a condição P(2)=0
4m-2n+26=0 \quad\Longrightarrow\quad 2m-n+13=0 \quad\Longrightarrow\quad n=2m+13.

Passo 4

Analogamente, impomos
P(-1)=0.
Temos
P(-1)=2\cdot(-1)^{4}-(-1)^{3}+m\cdot(-1)^{2}-n\cdot(-1)+2 =2+1+m+n+2 =m+n+5.
Logo
m+n+5=0 \quad\Longrightarrow\quad n=-m-5.

Passo 5

Igualando as duas expressões obtidas para n,
2m+13 = -m-5 \quad\Longrightarrow\quad 3m = -18 \quad\Longrightarrow\quad m = -6.
Substituindo em n=2m+13,
n = 2\cdot(-6)+13 = -12+13 = 1.

Resposta

n=1.

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