1.6.2 Determinação da aceleração da gravidade
1.6.2.4 Escreva a aceleração da gravidade na forma \boldsymbol{g}=\overline{\boldsymbol{g}} \pm \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{g}
Passo 1
O enunciado pede que a aceleração da gravidade seja escrita na forma
Informações relevantes que precisamos ter (ou assumir) para escrever isso:
Ou temos uma série de medidas diretas de \boldsymbol{g}: \boldsymbol{g}_1,\boldsymbol{g}_2,\dots,\boldsymbol{g}_N.
Ou calculamos \boldsymbol{g} a partir de outras grandezas medidas (por exemplo comprimento L e período T de um pêndulo) e neste caso precisamos das incertezas dessas grandezas.
Vou considerar ambos os casos porque o enunciado não deu números específicos: (A) média e incerteza estatística a partir de várias medidas; (B) cálculo e propagação de incerteza quando \boldsymbol{g} é função de outras grandezas.
Passo 2
Como calcular a média das medições (caso A).
Se fizermos N medições diretas \boldsymbol{g}_1,\boldsymbol{g}_2,\dots,\boldsymbol{g}_N, a estimativa da gravidade pela média amostral é
O significado: \overline{\boldsymbol{g}} é o valor central das medições; somamos todas as medidas e dividimos por N. Isso reduz ruídos aleatórios: quanto maior N, melhor a estima.
Passo 3
Como estimar a incerteza da média (incerteza estatística, caso A).
Primeiro calculamos o desvio padrão amostral s_g, que mede a dispersão das medições em torno da média:
Explicação: subtrai-se a média de cada medição (isso dá as diferenças), eleva-se ao quadrado (para não cancelar sinais), soma-se e divide-se por N-1 (correção de Bessel), depois tira-se raiz.
A incerteza da média (erro padrão da média), que é a quantidade que colocamos no \pm, é
\Delta\boldsymbol{g}=\frac{s_g}{\sqrt{N}}.
Explicação: dividir por \sqrt{N} mostra que a média fica mais precisa quando aumentamos o número de medidas.
Passo 4
Observações sobre incertezas sistemáticas e arredondamento.
A expressão acima trata ruído aleatório. Se houver incerteza sistemática conhecida (por exemplo calibração do cronômetro), ela deve ser somada (geralmente em quadratura) à incerteza final:
Na resposta final arredonde \Delta\boldsymbol{g} com uma ou duas casas significativas e apresente \overline{\boldsymbol{g}} com a mesma precisão.
Passo 5
Cálculo de \boldsymbol{g} a partir de outras grandezas e propagação de incerteza (caso B).
Suponha que \boldsymbol{g}=g(x_1,x_2,\dots,x_m) depende de medições x_k com incertezas \Delta x_k. Se as incertezas são independentes, a incerteza em g é, pela propagação linear (primeira ordem),
Explicação: isso vem da expansão em série de Taylor e da hipótese de que os erros são pequenos e não correlacionados. Cada termo mostra quanto uma variação em x_k afeta g, multiplicado pela incerteza de x_k; somam-se em quadratura porque os erros são estatisticamente independentes.
Passo 6
Exemplo concreto (muito comum): pêndulo simples.
Fórmula teórica do pêndulo (pequenas oscilações):
g=\frac{4\pi^2 L}{T^2},
onde L é o comprimento do pêndulo e T é o período.