1.6.2 Determinação da aceleração da gravidade
1.6.2.4 Escreva a aceleração da gravidade na forma \boldsymbol{g}=\overline{\boldsymbol{g}} \pm \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{g}

Passo 1

O enunciado pede que a aceleração da gravidade seja escrita na forma
\boldsymbol{g}=\overline{\boldsymbol{g}}\pm\Delta\boldsymbol{g}.
Informações relevantes que precisamos ter (ou assumir) para escrever isso:
  • Ou temos uma série de medidas diretas de \boldsymbol{g}: \boldsymbol{g}_1,\boldsymbol{g}_2,\dots,\boldsymbol{g}_N.
  • Ou calculamos \boldsymbol{g} a partir de outras grandezas medidas (por exemplo comprimento L e período T de um pêndulo) e neste caso precisamos das incertezas dessas grandezas.
    Vou considerar ambos os casos porque o enunciado não deu números específicos: (A) média e incerteza estatística a partir de várias medidas; (B) cálculo e propagação de incerteza quando \boldsymbol{g} é função de outras grandezas.

Passo 2

Como calcular a média das medições (caso A).
  • Se fizermos N medições diretas \boldsymbol{g}_1,\boldsymbol{g}_2,\dots,\boldsymbol{g}_N, a estimativa da gravidade pela média amostral é
\overline{\boldsymbol{g}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{g}_i.
  • O significado: \overline{\boldsymbol{g}} é o valor central das medições; somamos todas as medidas e dividimos por N. Isso reduz ruídos aleatórios: quanto maior N, melhor a estima.

Passo 3

Como estimar a incerteza da média (incerteza estatística, caso A).
  • Primeiro calculamos o desvio padrão amostral s_g, que mede a dispersão das medições em torno da média:
s_g=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(\boldsymbol{g}_i-\overline{\boldsymbol{g}}\bigr)^2}.
Explicação: subtrai-se a média de cada medição (isso dá as diferenças), eleva-se ao quadrado (para não cancelar sinais), soma-se e divide-se por N-1 (correção de Bessel), depois tira-se raiz.
  • A incerteza da média (erro padrão da média), que é a quantidade que colocamos no \pm, é
\Delta\boldsymbol{g}=\frac{s_g}{\sqrt{N}}.
Explicação: dividir por \sqrt{N} mostra que a média fica mais precisa quando aumentamos o número de medidas.

Passo 4

Observações sobre incertezas sistemáticas e arredondamento.
  • A expressão acima trata ruído aleatório. Se houver incerteza sistemática conhecida (por exemplo calibração do cronômetro), ela deve ser somada (geralmente em quadratura) à incerteza final:
\Delta\boldsymbol{g}=\sqrt{\left(\frac{s_g}{\sqrt{N}}\right)^2+(\Delta\boldsymbol{g}_{\text{sys}})^2}.
  • Na resposta final arredonde \Delta\boldsymbol{g} com uma ou duas casas significativas e apresente \overline{\boldsymbol{g}} com a mesma precisão.

Passo 5

Cálculo de \boldsymbol{g} a partir de outras grandezas e propagação de incerteza (caso B).
  • Suponha que \boldsymbol{g}=g(x_1,x_2,\dots,x_m) depende de medições x_k com incertezas \Delta x_k. Se as incertezas são independentes, a incerteza em g é, pela propagação linear (primeira ordem),
\Delta g=\sqrt{\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{\partial g}{\partial x_k}\Delta x_k\right)^2}.
Explicação: isso vem da expansão em série de Taylor e da hipótese de que os erros são pequenos e não correlacionados. Cada termo mostra quanto uma variação em x_k afeta g, multiplicado pela incerteza de x_k; somam-se em quadratura porque os erros são estatisticamente independentes.

Passo 6

Exemplo concreto (muito comum): pêndulo simples.
  • Fórmula teórica do pêndulo (pequenas oscilações):
g=\frac{4\pi^2 L}{T^2},
onde L é o comprimento do pêndulo e T é o período.
  • Derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial g}{\partial L}=\frac{4\pi^2}{T^2},\qquad \frac{\partial g}{\partial T}=-\frac{8\pi^2 L}{T^3}.
  • Aplicando a fórmula de propagação (assumindo \Delta L e \Delta T independentes):
\Delta g=\sqrt{\left(\frac{4\pi^2}{T^2}\Delta L\right)^2+\left(\frac{8\pi^2 L}{T^3}\Delta T\right)^2}.
  • Podemos escrever em forma relativa, mais prática:
\frac{\Delta g}{g}=\sqrt{\left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2+\left(2\frac{\Delta T}{T}\right)^2}.
Explicação: observe que a potência T^{-2} gera o fator 2 na incerteza relativa do período.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (para ver como apresentar no relatório).
  • Suponha que medimos L= 1,000\pm 0,001 \mathrm{m} e T= 2,000\pm 0,010 \mathrm{s}.
  • Calcule g:
g=\frac{4\pi^2\cdot 1,000}{(2,000)^2}=\frac{4\pi^2}{4}=\pi^2\approx 9,8696\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Calcule as incertezas relativas:
\frac{\Delta L}{L}=\frac{0,001}{1,000}=0,001,\qquad \frac{\Delta T}{T}=\frac{0,010}{2,000}=0,005.
  • Use a fórmula relativa:
\frac{\Delta g}{g}=\sqrt{(0,001)^2+(2\cdot 0,005)^2}=\sqrt{1{,}0\times10^{-6}+1{,}0\times10^{-4}}=\sqrt{1{,}01\times10^{-4}}\approx 0{,}01005.
  • Então \Delta g vale
\Delta g \approx 9{,}8696\times 0{,}01005\approx 0{,}0992\\ \mathrm{m/s^2}\approx 0{,}10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Apresentação final (arredondando \overline{g} para a mesma precisão de \Delta g):
\boldsymbol{g}=9{,}87\pm 0{,}10\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

\boldsymbol{g}=\overline{\boldsymbol{g}}\pm\Delta\boldsymbol{g}
\displaystyle \overline{\boldsymbol{g}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{g}_i,\qquad \Delta\boldsymbol{g}=\frac{s_g}{\sqrt{N}},\qquad s_g=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(\boldsymbol{g}_i-\overline{\boldsymbol{g}})^2}
\displaystyle \text{(se }\boldsymbol{g}=g(x_1,\dots,x_m)\text{) }\;\Delta g=\sqrt{\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{\partial g}{\partial x_k}\Delta x_k\right)^2}
\boldsymbol{g}=9{,}87\pm 0{,}10\\ \mathrm{m/s^2} (exemplo numérico usando g=4\pi^2L/T^2 com L=1{,}000\pm0{,}001\\ \mathrm{m} e T=2{,}000\pm0{,}010\\ \mathrm{s}).

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