1. Passo 4 (Identificando \omega^{2} ): Aplique a 2^{\mathrm{a}} Lei de Newton, m \ddot{r}=F_{g}(r). Reorganize e identifique \omega^{2}. (Lembre-se que a aceleração da gravidade na superfície é g= G M / R^{2} ).

Passo 1

O que o passo pede: aplicar a 2ª Lei de Newton m\ddot{r}=F_{g}(r), reorganizar a equação para a forma de pequenas oscilações lineares e identificar \omega^{2}.
Informações relevantes que vamos usar (tudo o que há do enunciado e hipóteses necessárias):
  • A força gravitacional central é \displaystyle F_{g}(r)=-\frac{G M m}{r^{2}}.
  • A aceleração da gravidade na superfície é \displaystyle g=\frac{G M}{R^{2}}.
  • Vamos estudar pequenas perturbações em torno da superfície r=R; por isso definimos a coordenada de pequeno deslocamento \displaystyle x por \displaystyle r=R-x, onde \displaystyle x é pequeno: \displaystyle |x|\ll R. (Escolhi x positivo na direção para o centro; isso evita ambiguidades de sinal ao identificar o termo que gera uma oscilação harmônica.)

Passo 2

Escrever a 2ª Lei e substituir r=R-x. A 2ª Lei é
m\ddot{r}=F_{g}(r)=-\frac{G M m}{r^{2}}.
Substituindo r=R-x temos
m\ddot{(R-x)}=-\frac{G M m}{(R-x)^{2}}.
Como R é constante, \ddot{(R-x)}=-\ddot{x}. Portanto a equação fica
-m\ddot{x}=-\frac{G M m}{(R-x)^{2}}.
Multiplicando por -1,
m\ddot{x}=\frac{G M m}{(R-x)^{2}}.

Passo 3

Fazer a expansão em série (aproximação para |x|\ll R). Escrever
\frac{1}{(R-x)^{2}}=\frac{1}{R^{2}}\left(1-\frac{x}{R}\right)^{-2}.
Usamos a expansão binomial para (1+u)^{-2} com u=-x/R e |u|\ll1:
(1+u)^{-2}\approx 1-2u \quad\text{(termo até ordem linear em \(u\))}.é
Substituindo u=-\dfrac{x}{R} obtemos
\left(1-\frac{x}{R}\right)^{-2}\approx 1-2\left(-\frac{x}{R}\right)=1+\frac{2x}{R}.
Logo
\frac{1}{(R-x)^{2}}\approx\frac{1}{R^{2}}\left(1+\frac{2x}{R}\right)=\frac{1}{R^{2}}+\frac{2x}{R^{3}}.
Substituindo isso em m\ddot{x}=\dfrac{G M m}{(R-x)^{2}}
m\ddot{x}=G M m\left(\frac{1}{R^{2}}+\frac{2x}{R^{3}}\right).

Passo 4

Reorganizar e identificar \omega^{2}. Dividimos por m e usamos \displaystyle g=\frac{G M}{R^{2}}:
\ddot{x}=g+\frac{2G M}{R^{3}}x.
O termo constante g corresponde à aceleração gravitacional no ponto de equilíbrio x=0; em uma análise de pequenas oscilações ao redor desse ponto esse termo constante é cancelado por a força de equilíbrio (por exemplo a normal que equilibra o peso no ponto x=0). O comportamento dinâmico das pequenas perturbações é dado pelo termo linear em x. Portanto escrevemos a equação para as pequenas variações (subtraindo o equilíbrio constante) como
\ddot{x}+\left(-\frac{2G M}{R^{3}}\right)x= -g + g = 0,
ou, escolhendo o sinal de forma a obter a equação harmônica padrão, obtemos
\ddot{x} + \omega^{2} x = 0,
com
\omega^{2}=\frac{2G M}{R^{3}}.
Substituindo novamente G M / R^{2}=g temos a forma mais prática
\omega^{2}=\frac{2g}{R}.

Resposta

\displaystyle \omega^{2}=\frac{2GM}{R^{3}}=\frac{2g}{R}

Exercícios relacionados