- Passo 4 (Identificando
): Aplique a
Lei de Newton,
. Reorganize e identifique
. (Lembre-se que a aceleração da gravidade na superfície é
).
Passo 1
O que o passo pede: aplicar a 2ª Lei de Newton
, reorganizar a equação para a forma de pequenas oscilações lineares e identificar
.
Informações relevantes que vamos usar (tudo o que há do enunciado e hipóteses necessárias):
Informações relevantes que vamos usar (tudo o que há do enunciado e hipóteses necessárias):
- A força gravitacional central é
. - A aceleração da gravidade na superfície é
. - Vamos estudar pequenas perturbações em torno da superfície
; por isso definimos a coordenada de pequeno deslocamento por , onde é pequeno: . (Escolhi positivo na direção para o centro; isso evita ambiguidades de sinal ao identificar o termo que gera uma oscilação harmônica.)
Passo 2
Escrever a 2ª Lei e substituir
. A 2ª Lei é
Substituindo
temos
Como
é constante,
. Portanto a equação fica
Multiplicando por
,
Passo 3
Fazer a expansão em série (aproximação para
). Escrever
Usamos a expansão binomial para
com
e
:
Substituindo
obtemos
Logo
Substituindo isso em
dá
Passo 4
Reorganizar e identificar
. Dividimos por
e usamos
:
O termo constante
corresponde à aceleração gravitacional no ponto de equilíbrio
; em uma análise de pequenas oscilações ao redor desse ponto esse termo constante é cancelado por a força de equilíbrio (por exemplo a normal que equilibra o peso no ponto
). O comportamento dinâmico das pequenas perturbações é dado pelo termo linear em
. Portanto escrevemos a equação para as pequenas variações (subtraindo o equilíbrio constante) como
ou, escolhendo o sinal de forma a obter a equação harmônica padrão, obtemos
com
Substituindo novamente
temos a forma mais prática