5 - Na determinação da composição granulométrica de dois agregados miúdos foram obtidos os resultados apresentados a seguir. Algum deles se enquadra na zona ótima ou utilizável? (considere os
limites de distribuição granulométrica estabelecidos na NBR 7211 - Agregados para Concreto Especificação - tabela 2). Seria possível, a partir de uma composição das duas areias, obter-se uma terceira areia cuja composição granulométrica estivesse dentro dos limites estabelecidos para a zona ótima? Demonstre isto numericamente. (2,0)
Areia 1
Peneira % em massa
Abertura de malha Retida acumulada
9,5 \mathrm{~mm} 0
6,3 \mathrm{~mm} 0
4,75 \mathrm{~mm} 0
2,36 \mathrm{~mm} 6
1,18 \mathrm{~mm} 18
600 \mu \mathrm{~m} 40
300 \mu \mathrm{~m} 60
150 \mu \mathrm{~m} 95
Areia 2
Peneira % em massa
Abertura de malha Retida acumulada
9,5 \mathrm{~mm} 0
6,3 \mathrm{~mm} 1
4,75 \mathrm{~mm} 5
2,36 \mathrm{~mm} 31
1,18 \mathrm{~mm} 53
600 \mu \mathrm{~m} 85
300 \mu \mathrm{~m} 95
150 \mu \mathrm{~m} 100

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes números da tabela do enunciado; são “retida acumulada” em % nas peneiras indicadas):
    • Areia 1 — retida acumulada (%):
      • 4{,}75\\ \mathrm{mm}: 0
      • 2{,}36\\ \mathrm{mm}: 6
      • 1{,}18\\ \mathrm{mm}: 18
      • 0{,}600\\ \mathrm{mm}: 40
      • 0{,}300\\ \mathrm{mm}: 60
      • 0{,}150\\ \mathrm{mm}: 95
    • Areia 2 — retida acumulada (%):
      • 4{,}75\\ \mathrm{mm}: 0
      • 2{,}36\\ \mathrm{mm}: 31
      • 1{,}18\\ \mathrm{mm}: 53
      • 0{,}600\\ \mathrm{mm}: 85
      • 0{,}300\\ \mathrm{mm}: 95
      • 0{,}150\\ \mathrm{mm}: 100
  • O que o enunciado pede:
    1. Verificar se alguma das areias se enquadra na “zona ótima” ou na “zona utilizável” segundo a NBR 7211 (tabela 2).
    2. Verificar se é possível, por mistura linear das duas areias, obter uma terceira areia cuja composição granulométrica esteja dentro dos limites da “zona ótima”. Demonstrar numericamente.
  • Observação: vou usar explicitamente os limites da NBR 7211 (tabela 2) para as duas zonas. A seguir eu apresento esses limites (valores de porcentagem que devem ser “passando” na peneira). Esses são os limites que vou usar na verificação e nos cálculos.

Passo 2

Converter “retida acumulada” em “percentual que passa” (isso facilita comparar com os limites da NBR). A relação é
\text{passando} = 100 - \text{retida acumulada}.
Calculo para cada peneira:
  • Areia 1:
    \begin{aligned} &\text{passe}_{4{,}75} = 100-0 = 100,\\\ &\text{passe}_{2{,}36} = 100-6 = 94,\\\ &\text{passe}_{1{,}18} = 100-18 = 82,\\\ &\text{passe}_{0{,}600} = 100-40 = 60,\\\ &\text{passe}_{0{,}300} = 100-60 = 40,\\\ &\text{passe}_{0{,}150} = 100-95 = 5. \end{aligned}
  • Areia 2:
    \begin{aligned} &\text{passe}_{4{,}75} = 100-0 = 100,\\\ &\text{passe}_{2{,}36} = 100-31 = 69,\\\ &\text{passe}_{1{,}18} = 100-53 = 47,\\\ &\text{passe}_{0{,}600} = 100-85 = 15,\\\ &\text{passe}_{0{,}300} = 100-95 = 5,\\\ &\text{passe}_{0{,}150} = 100-100 = 0. \end{aligned}
Resumo em forma de vetor de percentuais passando (na ordem 4{,}75,\,2{,}36,\,1{,}18,\,0{,}600,\,0{,}300,\,0{,}150 mm):
  • Areia 1: (100,\;94,\;82,\;60,\;40,\;5).
  • Areia 2: (100,\;69,\;47,\;15,\;5,\;0).

Passo 3

Listar os limites da NBR 7211 — tabela 2 que vou usar (valores de percentuais “passando” em cada peneira). Esses são os limites da “zona utilizável” e, dentro dela, os limites mais restritos da “zona ótima” (vou apresentar os dois intervalos para cada peneira; a mistura deve obedecer simultaneamente a todas as peneiras para estar na zona desejada).
Limites usados (estou considerando a tabela com as peneiras usuais e os intervalos de % passando):
  • Peneira 4{,}75\\ \mathrm{mm}:
    • Zona utilizável: 100 a 100 ( =100\% passando)
    • Zona ótima: 100 a 100
  • Peneira 2{,}36\\ \mathrm{mm}:
    • Zona utilizável: 95 a 100
    • Zona ótima: 95 a 100
  • Peneira 1{,}18\\ \mathrm{mm}:
    • Zona utilizável: 80 a 100
    • Zona ótima: 85 a 95
  • Peneira 0{,}600\\ \mathrm{mm}:
    • Zona utilizável: 50 a 85
    • Zona ótima: 60 a 75
  • Peneira 0{,}300\\ \mathrm{mm}:
    • Zona utilizável: 25 a 60
    • Zona ótima: 30 a 45
  • Peneira 0{,}150\\ \mathrm{mm}:
    • Zona utilizável: 0 a 15
    • Zona ótima: 0 a 5
(Obs.: estes intervalos correspondem aos limites que estamos adotando da NBR 7211 — tabela 2 — para proceder à verificação.)
Agora comparo cada areia com cada intervalo.
Verificação Areia 1 contra os limites:
  • 4{,}75\\ \mathrm{mm}: 100 — atende a ambos (zona utilizável e ótima).
  • 2{,}36\\ \mathrm{mm}: 94 — NÃO atende à faixa 95 100 (tanto da zona utilizável quanto da ótima) porque 94<95.
  • 1{,}18\\ \mathrm{mm}: 82 — atende à zona utilizável ( 80 100), mas não à zona ótima ( 85 95).
  • 0{,}600\\ \mathrm{mm}: 60 — atende exatamente ao limite inferior da zona ótima ( 60) e também à utilizável.
  • 0{,}300\\ \mathrm{mm}: 40 — atende à zona ótima ( 30 45).
  • 0{,}150\\ \mathrm{mm}: 5 — atende exatamente ao limite superior da zona ótima ( 0 5).
Conclusão parcial: Areia 1 falha na peneira 2{,}36\\ \mathrm{mm} para ambas as zonas (ficou em 94\% passando e a exigência mínima é 95\%). Portanto Areia 1 não se enquadra nem na zona utilizável nem na zona ótima.
Verificação Areia 2 contra os limites:
  • 4{,}75\\ \mathrm{mm}: 100 — atende.
  • 2{,}36\\ \mathrm{mm}: 69 — muito abaixo de 95; falha.
  • 1{,}18\\ \mathrm{mm}: 47 — abaixo de 80; falha.
  • 0{,}600\\ \mathrm{mm}: 15 — abaixo de 50; falha.
  • 0{,}300\\ \mathrm{mm}: 5 — abaixo de 25; falha para utilizável, e fora da ótima também.
  • 0{,}150\\ \mathrm{mm}: 0 — atende ao limite inferior da ótima/usável.
Conclusão parcial: Areia 2 falha em várias peneiras e, portanto, também não se enquadra nem na zona utilizável nem na zona ótima.
Resposta à primeira pergunta do enunciado (resumindo): nenhuma das areias, isoladamente, pertence à zona utilizável nem à zona ótima (a falha principal aparece em 2{,}36\\ \mathrm{mm} para ambas — Areia 1 ficou ligeiramente abaixo do limite mínimo).

Passo 4

Agora a segunda pergunta: é possível obter, por mistura das duas areias, uma terceira areia cuja composição granulométrica esteja dentro dos limites da zona ótima? Vou demonstrar numericamente.
Modelo de mistura linear:
  • Tome x como a fração em massa de Areia 1 na mistura e 1-x a fração de Areia 2, com 0\le x\le1.
  • Para cada peneira, o percentual que passa na mistura é p_{\text{mix}}(x) = x\cdot p_1 + (1-x)\cdot p_2 = p_2 + x\,(p_1-p_2),onde p_1 e p_2 são os percentuais passando de Areia 1 e Areia 2 naquela peneira (já calculados no Passo 2).
Examino a peneira crítica 2{,}36\\ \mathrm{mm} primeiro, porque já vimos que ambas as areias têm problemas ali (Areia 1: 94\%, Areia 2: 69\%).
  • Para 2{,}36\\ \mathrm{mm}: p_1=94, p_2=69. p_{\text{mix}}(x) = 69 + x(94-69) = 69 + 25x.A zona ótima exige 95 \le p_{\text{mix}} \le 100. Então 95 \le 69 + 25x \le 100.Da desigualdade inferior: 69 + 25x \ge 95 \quad\Rightarrow\quad 25x \ge 26 \quad\Rightarrow\quad x \ge \frac{26}{25} = 1{,}04.Isso já mostra que não existe x em [0,1] que satisfaça p_{\text{mix}}\ge95 nessa peneira (o valor mínimo de x necessário é >1). Em termos simples: a mistura mais “fina” possível é a Areia 1 pura ( x=1), que dá p_{\text{mix}}(1)=94\% em 2{,}36\\ \mathrm{mm}, ainda abaixo de 95\%. Logo é impossível obter 95\% ou mais nessa peneira por mistura das duas areias.
Como a zona ótima exige simultaneamente atendimento em todas as peneiras, se falha numa das peneiras (aqui 2{,}36\\ \mathrm{mm}) então não há mistura que atenda à zona ótima inteira.
Portanto, numericamente: NÃO é possível obter, por mistura linear de Areia 1 e Areia 2, uma areia que entre na zona ótima da NBR 7211 (pelo menos segundo os limites da tabela 2 que adotamos), porque o limite mínimo em 2{,}36\\ \mathrm{mm} ( 95\%) não pode ser alcançado (mesmo com 100\% de Areia 1 obtém-se apenas 94\%).

Passo 5

Para fechar bem: comentei rapidamente sobre a zona utilizável. Como vimos, a exigência principal em 2{,}36\\ \mathrm{mm} para a zona utilizável foi também 95\% (segundo os limites adotados) e Areia 1 não atinge esse mínimo ( 94\%). Logo nenhuma mistura alcançaria 95\% ali. Portanto também não é possível obter uma mistura que caia na zona utilizável considerando esses limites (já que a areia mais fina disponível — Areia 1 — não atinge o mínimo exigido nessa peneira).
Se o objetivo fosse apenas entrar na zona utilizável e a NBR aceitasse um limite menor nessa peneira (por exemplo 70\% no extremo inferior), aí valeria recalcular. Mas com os limites da tabela 2 que adotamos, a resposta é negativa.

Resposta

Nenhuma das areias, isoladamente, se enquadra na zona utilizável nem na zona ótima (Areia 1 falha em 2{,}36\\ \mathrm{mm} com 94\%, Areia 2 falha em várias peneiras).
Não é possível, por mistura linear das duas areias, obter uma areia que se enquadre na zona ótima (na peneira 2{,}36\\ \mathrm{mm} a mistura varia entre 69\% e 94\%, e a zona ótima exige no mínimo 95\%, logo impossível).

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