Curvas idf - Exemplo

Determine a precipitação máxima em Itajubá para o tempo de retorno de 20 anos e durações de 10 min , 30 min e 60 min
i=\frac{1193 . T_{r}^{0,171}}{(t+11,3)^{0,85}}
(PLÚVIO)
P/ 10 min
i=\frac{1193.20^{0,171}}{(10+11,3)^{0,85}}=147,9 \mathrm{~mm} / \mathrm{h}
P=147,9 * 10 / 60=24,6 \mathrm{~mm}
P/ 30 min
i=84,2 \mathrm{~mm} / \mathrm{h}
P=84,2 * 30 / 60=42,1 \mathrm{~mm}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedido: determinar a precipitação máxima em Itajubá para o tempo de retorno de 20 anos e para as durações 10 min, 30 min e 60 min.
  • Fórmula dada (peguei esta fórmula do enunciado):
i=\frac{1193\cdot T_{r}^{0,171}}{(t+11,3)^{0,85}}
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • T_{r}=20 (tempo de retorno, em anos).
    • As durações t são 10 min, 30 min e 60 min.
    • A variável i da fórmula é a intensidade de chuva em \mathrm{mm/h}.
    • A precipitação total P para uma duração t (min) é obtida por:
P = i\cdot\frac{t}{60}
(sendo t/60 a duração em horas).

Passo 2

Significado físico e como usar a fórmula (mini-aula rápida, sem pular etapas)
  • A curva IDF (intensidade–duração–frequência) relaciona intensidade i (em \mathrm{mm/h}), duração t (em minutos) e tempo de retorno T_{r} (em anos). A fórmula dada fornece a intensidade máxima associada a um T_{r} e uma duração t.
  • Componentes da fórmula:
    • 1193 é um coeficiente empírico (número adimensional multiplicador).
    • T_{r}^{0,171} aumenta a intensidade conforme aumenta o tempo de retorno (exponente 0,171).
    • (t+11,3)^{0,85} representa a queda da intensidade conforme a duração aumenta (observe o somatório t+11,3: mesmo durações muito pequenas têm um amortecimento).
  • Unidade: a fórmula dá i em \mathrm{mm/h}. Para obter precipitação total P (em \mathrm{mm}) durante a duração t em minutos:
P = i\cdot\frac{t}{60}.
  • Como calcular potências fracionárias (dica prática):
    • Para a^{b} com b não inteiro pode-se usar a^{b}=e^{b\ln a}.
    • No exame, geralmente é permitido usar calculadora para \ln e e^{x}. Se não puder, use tabelas ou aproximações; mas o procedimento é esse.

Passo 3

Calcular uma parte comum a todos os casos: o fator envolvendo T_{r}=20
  • Calcular T_{r}^{0,171} com T_{r}=20:
20^{0,171}=e^{0,171\ln 20}\approx e^{0,171\cdot 2,995732}\approx e^{0,512}\approx 1,669.
  • Multiplicando pelo coeficiente:
1193\cdot 20^{0,171}\approx 1193\cdot 1,669\approx 1991{,}7.
Esse número 1991{,}7 será o numerador fixo em todos os cálculos de i para T_{r}=20.

Passo 4

Procedimento geral para cada duração t
Para cada duração t:
  1. Calcular d=(t+11,3)^{0,85} (denominador).
  2. Calcular i=\dfrac{1991{,}7}{d} em \mathrm{mm/h}.
  3. Calcular P=i\cdot\dfrac{t}{60} em \mathrm{mm}.
Agora aplicamos passo a passo para cada duração.

Passo 5

Duração t=10 min (detalhes das contas)
  • Denominador:
t+11,3=10+11,3=21,3.
(21,3)^{0,85}=e^{0,85\ln 21,3}\approx e^{0,85\cdot 3,058} \approx e^{2,599}\approx 13{,}455.
  • Intensidade:
i=\frac{1991{,}7}{13{,}455}\approx 147{,}9\\ \mathrm{mm/h}.
(esse valor confirma o cálculo que você já tinha).
  • Precipitação total em 10 min:
P=i\cdot\frac{t}{60}=147{,}9\cdot\frac{10}{60}=147{,}9\cdot\frac{1}{6}\approx 24{,}6\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Duração t=30 min (detalhes das contas)
  • Denominador:
t+11,3=30+11,3=41,3.
(41,3)^{0,85}=e^{0,85\ln 41,3}\approx e^{0,85\cdot 3,721}\approx e^{3,163}\approx 23{,}63.
  • Intensidade:
i=\frac{1991{,}7}{23{,}63}\approx 84{,}2\\ \mathrm{mm/h}.
(esse valor também confirma o cálculo que você já tinha).
  • Precipitação total em 30 min:
P=i\cdot\frac{t}{60}=84{,}2\cdot\frac{30}{60}=84{,}2\cdot\frac{1}{2}=42{,}1\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Duração t=60 min (novo cálculo completo)
  • Denominador:
t+11,3=60+11,3=71,3.
(71,3)^{0,85}=e^{0,85\ln 71,3}\approx e^{0,85\cdot 4,267}\approx e^{3,627}\approx 37{,}57.
  • Intensidade:
i=\frac{1991{,}7}{37{,}57}\approx 53{,}0\\ \mathrm{mm/h}.
  • Precipitação total em 60 min:
P=i\cdot\frac{t}{60}=53{,}0\cdot\frac{60}{60}=53{,}0\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Breve interpretação e dica prática para a prova
  • Resultado esperado: conforme a duração aumenta, a intensidade i (mm/h) diminui, mas a precipitação total P pode aumentar ou diminuir dependendo de quanto i cai. Aqui P cresce de 10 para 30 e para 60 min (24,6 → 42,1 → 53,0 mm).
  • Dica rápida para prova: calcule primeiro o numerador envolvendo T_{r}^{0,171} (se T_{r} fixo para todas as durações, economiza tempo). Use a função ln e exponencial da calculadora para potências fracionárias: a^{b}=e^{b\ln a}. Sempre conferir unidades: i em \mathrm{mm/h}, transformar t em horas para obter P.

Resposta

P_{10\\ \text{min}} = 24{,}6\\ \mathrm{mm}
P_{30\\ \text{min}} = 42{,}1\\ \mathrm{mm}
P_{60\\ \text{min}} = 53{,}0\\ \mathrm{mm}

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