2 Determinação das Propriedades Reológicas de Leite Integral
Descrição do Experimento:
Leite integral foi submetido a testes de escoamento em um reômetro de tubo capilar (comprimento L =1,2 \mathrm{~m} e raio \mathrm{R}=5 \mathrm{~mm} ) a uma temperatura controlada de 30^{\circ} \mathrm{C}. Os dados experimentais de diferença de pressão (\Delta \mathrm{P}) e vazão volumétrica (\mathrm{Q}) obtidos durante o ensaio estão apresentados na Tabela 2.
Table 1: Tabela 2 - Dados reológicos do leite integral a \mathbf{3 0}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}
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Diferença de Pressão ( \boldsymbol{\Delta} \mathbf{P} ) [Pa]
Considerou-se regime de escoamento laminar durante todo o experimento, com perfil de velocidades totalmente desenvolvido.
Objetivo:
Construir a curva de fluxo do fluido e determinar seu comportamento reológico (newtoniano ou não newtoniano), identificando o modelo matemático que melhor descreve seus parâmetros reológicos (viscosidade, índice de comportamento de fluxo e coeficiente de consistência).
Passo 1
O enunciado pede que, a partir dos dados de diferença de pressão \Delta P e vazão volumétrica \dot Q no tubo capilar (comprimento L=1{,}2\\ \mathrm{m}, raio R=5\\ \mathrm{mm}) a 30^\circ\mathrm{C}:
Construa a curva de fluxo (tensão de cisalhamento na parede versus taxa de deformação na parede).
Determine o comportamento reológico do leite (newtoniano ou não newtoniano).
Identifique um modelo matemático adequado e determine os parâmetros reológicos: viscosidade (se newtoniano) ou índice de comportamento de fluxo n e coeficiente de consistência K (se power-law).
Informações fornecidas (peguei todos estes dados do enunciado):
Comprimento do capilar: L = 1{,}2\\ \mathrm{m}.
Raio do capilar: R = 5\\ \mathrm{mm} = 0{,}005\\ \mathrm{m}.
Tabela com pares \Delta P (em Pa) e \dot Q (em \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}); há 15 pontos experimentais.
Regime: escoamento laminar e perfil totalmente desenvolvido (condições que permitem usar as fórmulas de escoamento em tubo capilar).
Passo 2
Principais fórmulas e ideias que vou usar (vou explicar cada uma):
Tensão de cisalhamento na parede: para escoamento laminar em tubo cilíndrico totalmente desenvolvido, a tensão de cisalhamento na parede \tau_w é dada por
\tau_w=\frac{\Delta P\,R}{2L},
onde \Delta P é a queda de pressão ao longo do comprimento L, R é o raio. Significado físico: é a força tangencial por área que o fluido exerce na parede.
Taxa de deformação aparente na parede (taxa aparente de cisalhamento) para escoamento em tubos, usando a vazão volumétrica \dot Q:
Explicação: essa fórmula vem do perfil de velocidade de um fluido newtoniano, e fornece uma taxa de cisalhamento aparente baseada na vazão. Para fluidos não-newtonianos do tipo loiça de potência (power-law) usa-se a correção de Rabinowitsch para obter a taxa de cisalhamento real na parede, mas a relação entre \tau_w e \dot\gamma_{\text{app}} em escala logarítmica permite obter o expoente do power-law (ver abaixo).
Modelo power-law (modelo de Ostwald–de Waele): muitos fluidos não-newtonianos são bem descritos por
\tau_w = K\,\dot\gamma_w^{\,n},
onde K é o coeficiente de consistência (unidades de \mathrm{Pa\cdot s^{n}}), n é o índice de comportamento (se n=1 o fluido é newtoniano, n<1 é shear-thinning, n>1 shear-thickening) e \dot\gamma_w é a taxa de cisalhamento na parede. Para tubo capilar, usando a taxa aparente \dot\gamma_{\text{app}}, a combinação com a correção de Rabinowitsch leva a:
\ln\tau_w = \underbrace{\ln K + n\ln\!\left(\frac{3n+1}{4n}\right)}_{\text{intercepto}} + n\ln\dot\gamma_{\text{app}}.
Isto significa que, se os dados seguem um power-law, um gráfico \ln\tau_w versus \ln\dot\gamma_{\text{app}} será aproximadamente linear com declive n. O intercepto contém K e a correção de Rabinowitsch; com o n obtido é possível calcular K.
Caso especial: se n\approx1 (declive ~1), o fluido é essencialmente newtoniano e então \tau_w = \mu \dot\gamma_w. Para n=1 a correção de Rabinowitsch reduz a fator 1 e K=\mu (viscosidade).
Plano prático:
Converter \dot Q para \mathrm{m^3/s}.
Calcular \tau_w e \dot\gamma_{\text{app}} para cada ponto.
Fazer a regressão linear (mínimos quadrados) de \ln\tau_w versus \ln\dot\gamma_{\text{app}} para obter n (declive) e o intercepto.
Calcular K a partir do intercepto e do valor de n.
Interpretar (se n muito próximo de 1 -> newtoniano; no caso, reportar \mu e K).
Passo 3
Conversões e constantes numéricas úteis (vou mostrar como obter um fator prático para cálculo manual):
Converter vazão: \dot Q em \mathrm{cm^3/s} para \mathrm{m^3/s}: \dot Q(\mathrm{m^3/s})=10^{-6}\,\dot Q(\mathrm{cm^3/s}).
Repetindo para todos os 15 pontos (cálculos análogos), obtém‑se a lista de pares \big(\dot\gamma_{\text{app}},\tau_w\big). Para a análise linear a seguir trabalho com os logaritmos naturais \ln\tau_w e \ln\dot\gamma_{\text{app}}.
Passo 5
Regressão linear em escala logarítmica (mínimos quadrados) para obter n e o intercepto:
Denotando x_i=\ln\dot\gamma_{\text{app},i} e y_i=\ln\tau_{w,i}, a fórmula do declive por mínimos quadrados é
n = m = \frac{N\sum x_i y_i - \big(\sum x_i\big)\big(\sum y_i\big)}{N\sum x_i^{2}-\big(\sum x_i\big)^{2}},
com N=15 pontos.
A soma dos valores calculados (obtidos a partir das transformações descritas) deu numericamente:
\ln K \approx -4{,}2171 - 0{,}000426 \approx -4{,}2175,
K \approx e^{-4{,}2175}\approx 0{,}01474\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}}.
Como n\approx 0{,}9983 é extremamente próximo de 1, interpreta-se que o leite comportou-se praticamente como um fluido newtoniano neste intervalo de taxas de cisalhamento. Para n=1 tem-se K=\mu (viscosidade dinâmica). Portanto:
Observação didática e de verificação rápida: calcular \mu ponto a ponto usando \mu_i=\tau_{w,i}/\dot\gamma_{\text{app},i} resulta em valores muito próximos entre si (por ex., para o primeiro ponto \mu\approx 0{,}13792/9{,}578\approx 0{,}01440\\ \mathrm{Pa\cdot s} e para o último \mu\approx 3{,}5944/247{,}8\approx 0{,}01449\\ \mathrm{Pa\cdot s}), o que confirma que o comportamento é essencialmente linear e que a viscosidade média obtida pela regressão é consistente.
Passo 7
Interpretação física e resposta sobre o modelo:
O ajuste log-log dá n\approx 0{,}9983, muito próximo de 1: isso indica que o leite integral, nas condições do ensaio (até \dot\gamma\sim2\times 10^{2}\\ \mathrm{s^{-1}}), comportou-se como um fluido praticamente newtoniano.
O modelo matemático apropriado é, portanto, o modelo newtoniano \tau_w=\mu\dot\gamma_w (ou equivalentemente um power-law com n\approx 1).
Parâmetros reológicos estimados: coeficiente de consistência K\approx 0{,}01474\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}} e índice n\approx 0{,}9983. Como n\approx 1, a viscosidade dinâmica é \mu\approx 0{,}01474\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Resposta
n \approx 0{,}9983 K \approx 0{,}01474\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}}
Fluido essencialmente newtoniano com viscosidade \mu \approx 0{,}01474\\ \mathrm{Pa\cdot s} ( =14{,}74\\ \mathrm{mPa\cdot s} )