2 Determinação das Propriedades Reológicas de Leite Integral

Descrição do Experimento:

Leite integral foi submetido a testes de escoamento em um reômetro de tubo capilar (comprimento L =1,2 \mathrm{~m} e raio \mathrm{R}=5 \mathrm{~mm} ) a uma temperatura controlada de 30^{\circ} \mathrm{C}. Os dados experimentais de diferença de pressão (\Delta \mathrm{P}) e vazão volumétrica (\mathrm{Q}) obtidos durante o ensaio estão apresentados na Tabela 2.
Table 1: Tabela 2 - Dados reológicos do leite integral a \mathbf{3 0}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}
\captionsetup{labelformat=empty}
Diferença de Pressão ( \boldsymbol{\Delta} \mathbf{P} ) [Pa] Vazão Volumétrica ( \dot{Q} ) [ \mathrm{cm}^{3} \cdot \mathrm{~s}^{-1} ]
66,2 0,94
199,6 2,82
332,7 4,69
465,8 6,57
699,4 9,39
834,4 11,26
950,0 13,14
1.131,1 15,96
1.197,7 16,90
1.257,4 17,83
1.330,8 18,77
1.520,7 20,65
1.596,9 22,53
1.654,5 23,47
1.725,4 24,34

Condições do Ensaio:

Considerou-se regime de escoamento laminar durante todo o experimento, com perfil de velocidades totalmente desenvolvido.

Objetivo:

Construir a curva de fluxo do fluido e determinar seu comportamento reológico (newtoniano ou não newtoniano), identificando o modelo matemático que melhor descreve seus parâmetros reológicos (viscosidade, índice de comportamento de fluxo e coeficiente de consistência).

Passo 1

O enunciado pede que, a partir dos dados de diferença de pressão \Delta P e vazão volumétrica \dot Q no tubo capilar (comprimento L=1{,}2\\ \mathrm{m}, raio R=5\\ \mathrm{mm}) a 30^\circ\mathrm{C}:
  • Construa a curva de fluxo (tensão de cisalhamento na parede versus taxa de deformação na parede).
  • Determine o comportamento reológico do leite (newtoniano ou não newtoniano).
  • Identifique um modelo matemático adequado e determine os parâmetros reológicos: viscosidade (se newtoniano) ou índice de comportamento de fluxo n e coeficiente de consistência K (se power-law).
Informações fornecidas (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Comprimento do capilar: L = 1{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Raio do capilar: R = 5\\ \mathrm{mm} = 0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Tabela com pares \Delta P (em Pa) e \dot Q (em \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}); há 15 pontos experimentais.
  • Regime: escoamento laminar e perfil totalmente desenvolvido (condições que permitem usar as fórmulas de escoamento em tubo capilar).

Passo 2

Principais fórmulas e ideias que vou usar (vou explicar cada uma):
  1. Tensão de cisalhamento na parede: para escoamento laminar em tubo cilíndrico totalmente desenvolvido, a tensão de cisalhamento na parede \tau_w é dada por
\tau_w=\frac{\Delta P\,R}{2L},
onde \Delta P é a queda de pressão ao longo do comprimento L, R é o raio. Significado físico: é a força tangencial por área que o fluido exerce na parede.
  1. Taxa de deformação aparente na parede (taxa aparente de cisalhamento) para escoamento em tubos, usando a vazão volumétrica \dot Q:
\dot\gamma_{\text{app}}=\frac{4\dot Q}{\pi R^{3}}.
Explicação: essa fórmula vem do perfil de velocidade de um fluido newtoniano, e fornece uma taxa de cisalhamento aparente baseada na vazão. Para fluidos não-newtonianos do tipo loiça de potência (power-law) usa-se a correção de Rabinowitsch para obter a taxa de cisalhamento real na parede, mas a relação entre \tau_w e \dot\gamma_{\text{app}} em escala logarítmica permite obter o expoente do power-law (ver abaixo).
  1. Modelo power-law (modelo de Ostwald–de Waele): muitos fluidos não-newtonianos são bem descritos por
\tau_w = K\,\dot\gamma_w^{\,n},
onde K é o coeficiente de consistência (unidades de \mathrm{Pa\cdot s^{n}}), n é o índice de comportamento (se n=1 o fluido é newtoniano, n<1 é shear-thinning, n>1 shear-thickening) e \dot\gamma_w é a taxa de cisalhamento na parede. Para tubo capilar, usando a taxa aparente \dot\gamma_{\text{app}}, a combinação com a correção de Rabinowitsch leva a:
\tau_w = K\left(\frac{3n+1}{4n}\right)^{n} \dot\gamma_{\text{app}}^{\,n}.
Tomando logaritmo natural:
\ln\tau_w = \underbrace{\ln K + n\ln\!\left(\frac{3n+1}{4n}\right)}_{\text{intercepto}} + n\ln\dot\gamma_{\text{app}}.
Isto significa que, se os dados seguem um power-law, um gráfico \ln\tau_w versus \ln\dot\gamma_{\text{app}} será aproximadamente linear com declive n. O intercepto contém K e a correção de Rabinowitsch; com o n obtido é possível calcular K.
  1. Caso especial: se n\approx1 (declive ~1), o fluido é essencialmente newtoniano e então \tau_w = \mu \dot\gamma_w. Para n=1 a correção de Rabinowitsch reduz a fator 1 e K=\mu (viscosidade).
Plano prático:
  • Converter \dot Q para \mathrm{m^3/s}.
  • Calcular \tau_w e \dot\gamma_{\text{app}} para cada ponto.
  • Fazer a regressão linear (mínimos quadrados) de \ln\tau_w versus \ln\dot\gamma_{\text{app}} para obter n (declive) e o intercepto.
  • Calcular K a partir do intercepto e do valor de n.
  • Interpretar (se n muito próximo de 1 -> newtoniano; no caso, reportar \mu e K).

Passo 3

Conversões e constantes numéricas úteis (vou mostrar como obter um fator prático para cálculo manual):
  • Converter vazão: \dot Q em \mathrm{cm^3/s} para \mathrm{m^3/s}: \dot Q(\mathrm{m^3/s})=10^{-6}\,\dot Q(\mathrm{cm^3/s}).
  • Constantes do tubo:
R=0{,}005\\ \mathrm{m},\qquad R^{3}=1{,}25\times10^{-7}\\ \mathrm{m^3},\qquad \pi R^{3}\approx 3{,}92699\times10^{-7}\\ \mathrm{m^3}.
  • Assim, a fórmula \dot\gamma_{\text{app}}=\dfrac{4\dot Q}{\pi R^{3}} fica numericamente (para \dot Q em \mathrm{cm^3/s}):
\dot\gamma_{\text{app}}\\ [\mathrm{s^{-1}}]\approx 10{,}1859\;\dot Q\\ [\mathrm{cm^3/s}].
(derivação: \dfrac{4\cdot 10^{-6}}{3{,}92699\times10^{-7}} \approx 10{,}1859).
  • Para \tau_w:
\tau_w=\frac{\Delta P\,R}{2L}=\Delta P\cdot\underbrace{\frac{0{,}005}{2\cdot 1{,}2}}_{=0{,}0020833333}\approx 0{,}0020833333\\ \Delta P.
(Unidades: \Delta P em Pa dá \tau_w em Pa.)

Passo 4

Cálculo dos pares \tau_w e \dot\gamma_{\text{app}} (mostro o cálculo para os primeiros e últimos pontos; os demais são feitos da mesma maneira):
Fórmulas usadas:
\tau_w = 0{,}0020833333\,\Delta P, \qquad \dot\gamma_{\text{app}} = 10{,}1859\,\dot Q_{(\mathrm{cm^3/s})}.
Exemplos:
  • Para \Delta P=66{,}2\\ \mathrm{Pa}, \dot Q=0{,}94\\ \mathrm{cm^3/s}:
\tau_w = 0{,}0020833333\times 66{,}2 = 0{,}13792\\ \mathrm{Pa}, \qquad \dot\gamma_{\text{app}} = 10{,}1859\times 0{,}94 = 9{,}578\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Para \Delta P=1{,}725{,}4\\ \mathrm{Pa}, \dot Q=24{,}34\\ \mathrm{cm^3/s} (último ponto):
\tau_w = 0{,}0020833333\times 1725{,}4 = 3{,}5944\\ \mathrm{Pa}, \qquad \dot\gamma_{\text{app}} = 10{,}1859\times 24{,}34 = 247{,}8\\ \mathrm{s^{-1}}.
Repetindo para todos os 15 pontos (cálculos análogos), obtém‑se a lista de pares \big(\dot\gamma_{\text{app}},\tau_w\big). Para a análise linear a seguir trabalho com os logaritmos naturais \ln\tau_w e \ln\dot\gamma_{\text{app}}.

Passo 5

Regressão linear em escala logarítmica (mínimos quadrados) para obter n e o intercepto:
  • Denotando x_i=\ln\dot\gamma_{\text{app},i} e y_i=\ln\tau_{w,i}, a fórmula do declive por mínimos quadrados é
n = m = \frac{N\sum x_i y_i - \big(\sum x_i\big)\big(\sum y_i\big)}{N\sum x_i^{2}-\big(\sum x_i\big)^{2}},
com N=15 pontos.
A soma dos valores calculados (obtidos a partir das transformações descritas) deu numericamente:
\sum x_i \approx 70{,}358,\qquad \sum y_i \approx 6{,}9794,
\sum x_i^2 \approx 341{,}98,\qquad \sum x_i y_i \approx 44{,}6805.
Aplicando a fórmula:
n = \frac{15\cdot 44{,}6805 - 70{,}358\cdot 6{,}9794}{15\cdot 341{,}98 - (70{,}358)^2} \approx \frac{670{,}2075 - 491{,}063}{5{,}129{,}7 - 4{,}950{,}248} \approx \frac{179{,}1445}{179{,}452} \approx 0{,}9983.
O intercepto da regressão (constante b tal que y = b + n x) é
b = \frac{\sum y_i - n\sum x_i}{N} \approx \frac{6{,}9794 - 0{,}9983\cdot 70{,}358}{15} \approx -4{,}2171.

Passo 6

Determinação de K e interpretação:
  • A relação logarítmica obtida foi
\ln\tau_w = b + n\ln\dot\gamma_{\text{app}},
com b\approx -4{,}2171 e n\approx 0{,}9983.
  • A partir da relação teórica
b = \ln K + n\ln\!\left(\frac{3n+1}{4n}\right),
isolamos K:
\ln K = b - n\ln\!\left(\frac{3n+1}{4n}\right).
Calculando numericamente (note que para n muito próximo de 1 o fator \dfrac{3n+1}{4n} é praticamente 1; a correção de Rabinowitsch é pequena):
\frac{3n+1}{4n}\approx \frac{3\cdot0{,}9983+1}{4\cdot0{,}9983}\approx 1{,}000427,
n\ln\!\left(\frac{3n+1}{4n}\right)\approx 0{,}000426.
Logo
\ln K \approx -4{,}2171 - 0{,}000426 \approx -4{,}2175,
K \approx e^{-4{,}2175}\approx 0{,}01474\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}}.
Como n\approx 0{,}9983 é extremamente próximo de 1, interpreta-se que o leite comportou-se praticamente como um fluido newtoniano neste intervalo de taxas de cisalhamento. Para n=1 tem-se K=\mu (viscosidade dinâmica). Portanto:
\mu \approx K \approx 0{,}01474\\ \mathrm{Pa\cdot s} = 14{,}74\\ \mathrm{mPa\cdot s}.
Observação didática e de verificação rápida: calcular \mu ponto a ponto usando \mu_i=\tau_{w,i}/\dot\gamma_{\text{app},i} resulta em valores muito próximos entre si (por ex., para o primeiro ponto \mu\approx 0{,}13792/9{,}578\approx 0{,}01440\\ \mathrm{Pa\cdot s} e para o último \mu\approx 3{,}5944/247{,}8\approx 0{,}01449\\ \mathrm{Pa\cdot s}), o que confirma que o comportamento é essencialmente linear e que a viscosidade média obtida pela regressão é consistente.

Passo 7

Interpretação física e resposta sobre o modelo:
  • O ajuste log-log dá n\approx 0{,}9983, muito próximo de 1: isso indica que o leite integral, nas condições do ensaio (até \dot\gamma \sim 2\times 10^{2}\\ \mathrm{s^{-1}}), comportou-se como um fluido praticamente newtoniano.
  • O modelo matemático apropriado é, portanto, o modelo newtoniano \tau_w=\mu\dot\gamma_w (ou equivalentemente um power-law com n\approx 1).
  • Parâmetros reológicos estimados: coeficiente de consistência K\approx 0{,}01474\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}} e índice n\approx 0{,}9983. Como n\approx 1, a viscosidade dinâmica é \mu\approx 0{,}01474\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Resposta

n \approx 0{,}9983
K \approx 0{,}01474\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}}
Fluido essencialmente newtoniano com viscosidade \mu \approx 0{,}01474\\ \mathrm{Pa\cdot s} ( =14{,}74\\ \mathrm{mPa\cdot s} )

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