4 Determinação das Propriedades Reológicas de Extrato de Café ( \mathbf{1 8}^{\boldsymbol{\circ}} Brix a \mathbf{2 2}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C} )

Descrição do Experimento:

Amostras de extrato de café com concentração de 18^{\circ} Brix foram analisadas em reômetro de cilindros concêntricos (sistema Searle) nas seguintes condições:
  • Temperatura controlada: 22^{\circ} \mathrm{C} \pm 0,1^{\circ} \mathrm{C}
  • Geometria do sistema:
  • Altura do cilindro (H): 11,8 \mathrm{~cm}
  • Raio externo (Re): 2,6 \mathrm{~cm}
  • Raio interno (Ri): 2,1 \mathrm{~cm}

Dados Experimentais:

Os valores de torque e velocidade angular obtidos durante a análise estão apresentados na Tabela 4.
Torque \left(\mathrm{T} \times 10^{-5}\right)[\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}] Velocidade (N) [rpm] Torque \left(\mathrm{T} \times 10^{-5}\right)[\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}] Velocidade (N) [rpm]
0,279 10 6,747 233
0,446 16 7,528 270
0,915 32 8,575 300
1,795 64 9,201 320
2,912 100 9,650 344
4,296 150 10,462 366
5,184 178 11,148 390
5,563 200 11,529 411

Objetivo da Análise:

  1. Determinar o modelo reológico que melhor descreve o comportamento do extrato de café nas condições testadas
  2. Calcular os parâmetros reológicos característicos
  3. Classificar o fluido quanto ao seu comportamento reológico

Passo 1

O que o enunciado pede (clarinho):
  • Determinar qual modelo reológico descreve melhor o extrato de café nas condições testadas.
  • Calcular os parâmetros reológicos característicos (por exemplo, viscosidade se for Newtoniano, ou K e n se for lei de potência).
  • Classificar o fluido quanto ao comportamento reológico (Newtoniano, pseudoplástico, dilatante, tixotrópico, etc.).
Informações relevantes que o enunciado nos deu (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • Temperatura: 22^\circ\mathrm{C}\pm0,1^\circ\mathrm{C}.
  • Geometria do reômetro (cilindros concêntricos, sistema Searle):
    • Altura: H=11,8\\ \mathrm{cm} = 0,118\\ \mathrm{m}.
    • Raio externo: R_e=2,6\\ \mathrm{cm} = 0,026\\ \mathrm{m}.
    • Raio interno: R_i=2,1\\ \mathrm{cm} = 0,021\\ \mathrm{m}.
  • Os pares medidos (Torque \times10^{-5} em \mathrm{N\cdot m} ; Velocidade N em rpm):
    • (T,N) = (0,279,10), (0,446,16), (0,915,32), (1,795,64), (2,912,100), (4,296,150), (5,184,178), (5,563,200), (6,747,233), (7,528,270), (8,575,300), (9,201,320), (9,650,344), (10,462,366), (11,148,390), (11,529,411).
  • Observação sobre unidades: cada torque dado na tabela é o valor multiplicado por 10^{-5}; isto é, valor real T_{\mathrm{(N\cdot m)}} = (\text{número da tabela})\times10^{-5}ú.

Passo 2

Como transformar os dados instrumentais em grandezas reológicas medidas (fórmulas e por quê).
  1. Relação torque \to tensão de cisalhamento na parede do cilindro interno.
    A dedução física: a força de cisalhamento na superfície do cilindro interno vale \tau_w por unidade de área; a área lateral do cilindro interno é A = 2\pi R_i H. A força total tangencial é F=\tau_w A e o momento (torque) gerado por essa força é T=F R_i = \tau_w (2\pi R_i H) R_i. Portanto:
\tau_w = \frac{T}{2\pi H R_i^2}.
Essa é a definição usual de tensão de parede aparente usada em reometria de cilindros.
  1. Relação velocidade \to taxa de deformação (taxa de cisalhamento) na parede.
    A velocidade angular do cilindro é \Omega = \dfrac{2\pi N}{60} (em \mathrm{rad/s}). Para o escoamento entre cilindros, a expressão exata da taxa de cisalhamento na parede depende do perfil radial e do modelo reológico. Em provas/avaliações práticas, é comum usar a aproximação de folga estreita (narrow-gap) quando (R_e-R_i) não é muito grande, que dá uma boa estimativa da taxa de cisalhamento na parede:
\dot\gamma_a \approx \frac{\Omega R_i}{R_e-R_i}.
Essa é a taxa de cisalhamento aparente na parede (unidade \mathrm{s}^{-1}). Vou justificar rapidamente: quando a folga é pequena o escoamento pode ser aproximado por uma camada de espessura d=R_e-R_i e a deformação por unidade de tempo é aproximadamente a velocidade tangencial do cilindro interno dividida por d.
  1. Modelo a testar. Estratégia prática (bom para prova):
  • Calcular a tensão de parede aparente \tau_w e a taxa de cisalhamento aparente \dot\gamma_a para todos os pontos.
  • Calcular a viscosidade aparente \eta_{\mathrm{app}}=\tau_w/\dot\gamma_a para cada ponto.
  • Se \eta_{\mathrm{app}} for aproximadamente constante ao longo da faixa de \dot\gamma, o fluido é Newtoniano com \eta igual a esse valor médio. Se \eta_{\mathrm{app}} variar sistematicamente com \dot\gamma, testa-se lei de potência \tau = K\dot\gamma^n (log-log e achar n e K) ou modelos com rendimento se houver tensão de escoamento.

Passo 3

Calcular constantes numéricas úteis (converter unidades, preparar constantes que se repetem).
  1. Converte R_i, R_e, H para metros (já feito no Passo 1):
R_i=0,021\\ \mathrm{m},\qquad R_e=0,026\\ \mathrm{m},\qquad H=0,118\\ \mathrm{m}.
  1. Denominador que aparece na fórmula de \tau_w:
2\pi H R_i^2 = 2\pi \cdot 0,118\cdot (0,021)^2.
Calcule passo a passo:
R_i^2 = 0,021^2 = 0,000441\\ \mathrm{m^2}.
H R_i^2 = 0,118\cdot 0,000441 = 5,2038\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3}.
2\pi H R_i^2 = 2\pi\cdot 5,2038\times10^{-5} = 3,2691\times10^{-4}.
Assim:
\tau_w = \frac{T}{3,2691\times10^{-4}}\quad\text{(com \(T\) em \(\mathrm{N\cdot m}\) reais).}
  1. Constante de conversão rpm \to taxa de cisalhamento aparente \dot\gamma_a:
\Omega = \frac{2\pi N}{60},\qquad \dot\gamma_a \approx \frac{\Omega R_i}{R_e-R_i}.
Calcule o fator que multiplica N:
\frac{2\pi}{60}\cdot\frac{R_i}{R_e-R_i} = \frac{2\pi}{60}\cdot\frac{0,021}{0,026-0,021} = \frac{2\pi}{60}\cdot\frac{0,021}{0,005}.
\frac{0,021}{0,005}=4,2,\qquad \frac{2\pi}{60}=0,1047198\\ (\text{rad/s por rpm}).
Logo o coeficiente:
k=\;0,1047198\times 4,2 = 0,43982\\ (\mathrm{s^{-1}\,rpm^{-1}}).
Portanto, para cada N em rpm:
\dot\gamma_a \approx 0,43982\\ N\quad(\mathrm{s^{-1}}).

Passo 4

Exemplo de cálculo detalhado em um ponto baixo e um ponto alto (mostra o método que deve ser aplicado passo a passo na prova).
  1. Ponto de baixa rotação: N=10\\ \mathrm{rpm}, Torque na tabela =0,279\times10^{-5}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Converte T:
T = 0,279\times10^{-5} = 2,79\times10^{-6}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Calcula \tau_w:
\tau_w = \frac{T}{3,2691\times10^{-4}} = \frac{2,79\times10^{-6}}{3,2691\times10^{-4}} = 0,008534\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcula \dot\gamma_a:
\dot\gamma_a = 0,43982\times 10 = 4,3982\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Calcula viscosidade aparente:
\eta_{\mathrm{app}} = \frac{\tau_w}{\dot\gamma_a} = \frac{0,008534}{4,3982} = 0,001940\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  1. Ponto de alta rotação: N=411\\ \mathrm{rpm}, Torque na tabela =11,529\times10^{-5}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Converte T:
T = 11,529\times10^{-5} = 1,1529\times10^{-4}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Calcula \tau_w:
\tau_w = \frac{1,1529\times10^{-4}}{3,2691\times10^{-4}} = 0,3526\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcula \dot\gamma_a:
\dot\gamma_a = 0,43982\times 411 = 180,69\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Calcula viscosidade aparente:
\eta_{\mathrm{app}} = \frac{0,3526}{180,69} = 0,001951\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Comentário curto: os dois valores de \eta_{\mathrm{app}} calculados (ponto baixo e ponto alto) são praticamente iguais ( \approx 0,00194 0,00195\\ \mathrm{Pa\cdot s}). Isso já indica comportamento aproximadamente Newtoniano.

Passo 5

Aplicação do procedimento a todos os pontos e cálculo do parâmetro reológico (método direto e simples para prova).
  1. Para cada par (T_{\text{tabela}},N) fazer:
T = T_{\text{tabela}}\times 10^{-5}, \qquad \tau_w = \frac{T}{3,2691\times10^{-4}}, \qquad \dot\gamma_a = 0,43982\,N, \qquad \eta_{\mathrm{app}}=\frac{\tau_w}{\dot\gamma_a}.
  1. Executando isso para todos os 16 pontos (cálculos feitos como nos exemplos acima) obtém-se um conjunto de \eta_{\mathrm{app}} que varia muito pouco; os valores individuais (aproximados) são:
0,001940,\\\ 0,001938,\\\ 0,001989,\\\ 0,001951,\\\ 0,002025,\\\ 0,001992,\\\ 0,002026,\\\ 0,001934,\\\ 0,002016,\\\ 0,001939,\\\ 0,001989,\\\ 0,001999,\\\ 0,001953,\\\ 0,001988,\\\ 0,001990,\\\ 0,001951\\ (\mathrm{Pa\cdot s}).
  1. Média aritmética desses valores (boa aproximação do parâmetro reológico se o comportamento for Newtoniano):
\eta = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}\eta_{\mathrm{app},i} \approx 0,001976\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Arredondando de forma prática para prova e comunicação, fica:
\eta \approx 0,00198\\ \mathrm{Pa\cdot s} \;=\; 1{,}98\\ \mathrm{mPa\cdot s}.

Passo 6

Interpretação do resultado e escolha do modelo reológico (por que escolhi Newtoniano e não outro).
  • Observação prática: \eta_{\mathrm{app}} praticamente não varia com \dot\gamma_a na faixa \dot\gamma_a \approx 4{,}4 até 180{,}7\\ \mathrm{s^{-1}}. Isso é o comportamento característico de um fluido Newtoniano (viscosidade constante, tensão proporcional à taxa de cisalhamento).
  • Se o fluido fosse não-Newtoniano do tipo lei de potência ( \tau = K\dot\gamma^n com n\neq1), no gráfico \log\tau vs \log\dot\gamma a inclinação (que é n) seria claramente diferente de 1. Aqui os dados mostram uma relação linear passando por origem e com coeficiente angular praticamente constante — equivalente a \tau=\eta\dot\gamma.
  • Também não há indicação de tensão de escoamento (yield stress), porque em baixa rotação a tensão calculada é muito pequena mas proporcional à taxa (não existe um patamar de tensão não nula em \dot\gamma\to0).
Conclusão: o modelo mais simples e que melhor descreve os dados é o modelo Newtoniano.

Passo 7

Resultado prático, o que levar pra prova e como justificar em 3 linhas quando pedir.
  • Modelo: fluido Newtoniano, pois \eta_{\mathrm{app}} é aproximadamente constante ao longo da faixa de \dot\gamma.
  • Parâmetro reológico: viscosidade dinâmica
\eta \approx 0,00198\\ \mathrm{Pa\cdot s}\;(\approx 1{,}98\\ \mathrm{mPa\cdot s}).
  • Classificação: fluido Newtoniano (viscoso, comportamento newtoniano, sem rendimento detectado na faixa medida).
Observação final: usei a aproximação de folga estreita para \dot\gamma_a. Apesar de R_e/R_i\approx 1{,}238 (não extremante perto de 1), a constância observada de \eta_{\mathrm{app}} confirma que a aproximação foi suficiente para identificar o comportamento e estimar a viscosidade. Em análise mais aprofundada (ou se fosse exigido altíssima precisão), poderia-se usar a correção exata para cilindros concêntricos e/ou aplicar o método de Rabinowitsch-Mooney para não-Newtonianos; mas para prova e interpretação prática este procedimento é o indicado.

Resposta

Modelo: Newtoniano.
Viscosidade dinâmica: \eta \approx 0,00198\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Classificação: fluido Newtoniano (viscoso, sem comportamento de rendimento ou de lei de potência detectável na faixa medida).

Exercícios relacionados