Determinação da Velocidade Inicial Necessária ( \mathrm{v}_{0} ): Considerando que o componente deve atingir o alcance \mathrm{D}=10,0 \mathrm{~m}.
a) Calcule o tempo de voo ( \mathrm{t}_{\text {voo }} ) necessário para atingir o alcance D , em função de \mathrm{v}_{0} e \theta (usando \mathrm{x}(\mathrm{t}) ).
b) Utilizando a equação da trajetória ou o conceito de Alcance Horizontal, determine o módulo da velocidade inicial \mathrm{v}_{0} necessária para que o componente atinja \mathrm{D}=10,0 \mathrm{~m} com \theta=60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece alguns dados. Vou listar claramente:
  • Perguntas:
    1. Calcular o tempo de voo \mathrm{t}_{\text{voo}} necessário para atingir o alcance \mathrm{D}, em função de \mathrm{v}_{0} e \theta (usando \mathrm{x}(t)).
    2. Determinar o módulo da velocidade inicial \mathrm{v}_{0} necessária para que o componente atinja \mathrm{D}=10{,}0\\ \mathrm{m} quando \theta=60^\circ.
  • Dados fornecidos:
    • \mathrm{D}=10{,}0\\ \mathrm{m}.
    • \theta=60^\circ (apenas para a parte b).
  • Quantidades que vamos usar/assumir:
    • A aceleração da gravidade \;g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Assume-se lançamento de um ponto e aterrissagem no mesmo nível vertical (lançamento e chegada na mesma altura).

Passo 2

Conceitos básicos (passo a passo, sem pressa):
  • Em movimento de projéteis sem resistência do ar, decompomos a velocidade inicial \mathrm{v}_{0} em duas componentes:
    • componente horizontal: \mathrm{v}_{0x}=\mathrm{v}_{0}\cos\theta,
    • componente vertical: \mathrm{v}_{0y}=\mathrm{v}_{0}\sin\theta.
  • As equações do movimento são (e eu explico cada termo):
    • posição horizontal em função do tempo: x(t)=\mathrm{v}_{0x}\,t=\mathrm{v}_{0}\cos\theta\;t.Aqui x(t) é a posição horizontal no instante t, \mathrm{v}_{0}\cos\theta é a velocidade horizontal (constante, pois não há aceleração horizontal).
    • posição vertical em função do tempo: y(t)=\mathrm{v}_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2}=\mathrm{v}_{0}\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g t^{2}.Aqui y(t) é a altura no instante t; o termo -\tfrac{1}{2}gt^{2} vem da aceleração vertical -g.
  • Tempo de voo é o tempo entre t=0 e o instante de aterrissagem (quando y(t) volta ao nível inicial). Mas a parte (a) pede o tempo usando x(t), então vamos usar a equação horizontal.

Passo 3

Derivando o tempo de voo usando a equação horizontal \mathrm{x}(t):
  • A condição para atingir o alcance \mathrm{D} é que, no tempo de voo \mathrm{t}_{\text{voo}}, x(\mathrm{t}_{\text{voo}})=\mathrm{D}.
  • Substituindo x(t)=\mathrm{v}_{0}\cos\theta\;t, temos \mathrm{v}_{0}\cos\theta\;\mathrm{t}_{\text{voo}}=\mathrm{D}.
  • Isolando \mathrm{t}_{\text{voo}}, \boxed{\displaystyle \mathrm{t}_{\text{voo}}=\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{v}_{0}\cos\theta}.}
Explicação curta: isso vem direto do fato de que a velocidade horizontal é constante; o tempo para percorrer a distância \mathrm{D} é distância dividido pela velocidade horizontal. Essa é a resposta em função de \mathrm{v}_{0} e \theta pedida na parte (a).

Passo 4

(Vale a pena ver a relação com a vertical — isso explica por que essa expressão é consistente.)
  • Do movimento vertical, a volta ao solo (exceto t=0) satisfaz \mathrm{v}_{0}\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g t^{2}=0.
  • Soluções: t=0 (lançamento) e t=\frac{2\mathrm{v}_{0}\sin\theta}{g}.Esse é o tempo de voo obtido pela condição vertical. Se você substituir esse t em x(t)=\mathrm{v}_{0}\cos\theta\;t, obtém a fórmula do alcance: \mathrm{D}=\mathrm{v}_{0}\cos\theta\cdot\frac{2\mathrm{v}_{0}\sin\theta}{g}=\frac{\mathrm{v}_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}.
  • Portanto as expressões horizontal e vertical são consistentes entre si.

Passo 5

Resolver a parte (b): encontrar \mathrm{v}_{0} para \mathrm{D}=10{,}0\\ \mathrm{m} e \theta=60^\circ.
  • Usamos a fórmula do alcance (resultado do Passo 4): \mathrm{D}=\frac{\mathrm{v}_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}.
  • Isolando \mathrm{v}_{0}, \boxed{\displaystyle \mathrm{v}_{0}=\sqrt{\frac{\mathrm{D}\,g}{\sin(2\theta)}}.}
  • Agora substituímos os valores numéricos:
    • \mathrm{D}=10{,}0\\ \mathrm{m}.
    • \theta=60^\circ \Rightarrow 2\theta=120^\circ.
    • \sin(120^\circ)=\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254.
    • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Cálculo passo a passo: \mathrm{D}\,g=10{,}0\times 9{,}81 = 98{,}1.
\frac{\mathrm{D}\,g}{\sin(2\theta)}=\frac{98{,}1}{0{,}8660254}\approx 113{,}34.
\mathrm{v}_{0}=\sqrt{113{,}34}\approx 10{,}65\\ \mathrm{m/s}.
  • Verificação rápida (bônus): tempo de voo numérico usando \mathrm{t}_{\text{voo}}=\dfrac{\mathrm{D}}{\mathrm{v}_{0}\cos\theta}:
    • \cos(60^\circ)=0{,}5. Então \mathrm{t}_{\text{voo}}\approx\frac{10{,}0}{10{,}65\times 0{,}5}\approx 1{,}88\\ \mathrm{s},que bate com 2\mathrm{v}_{0}\sin\theta/g calculado numericamente — sinal de que o resultado faz sentido. Força aí, isso é suficiente para a prova!

Resposta

a) \displaystyle \mathrm{t}_{\text{voo}}=\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{v}_{0}\cos\theta}\n
b) \displaystyle \mathrm{v}_{0}\approx 10{,}65\\ \mathrm{m/s}

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