Verificação de Interferência (Altura Máxima e Obstáculo): Com o valor de \mathrm{v}_{0} calculado na Questão 2, o engenheiro precisa garantir que o componente não colida com o obstáculo de \mathrm{H}=2,5 \mathrm{~m} em \mathrm{xH}=5 \mathrm{~m}.
a) Calcule a Altura Máxima ( \mathrm{y}_{m} ) atingida pelo componente e verifique se ela é superior à altura do obstáculo (H).
b Se o componente atingir a altura máxima antes do obstáculo, use a equação da trajetória:
\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{x}(\operatorname{tg} \theta)-\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \theta}
Calcule a altura \mathrm{y}\left(\mathrm{x}_{H}\right) em que o componente passa sobre a posição do obstáculo ( \mathrm{x}_{H}= 5,0 \mathrm{~m} ) e verifique se há clearance (folga) suficiente para o projeto.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Calcular a Altura Máxima \mathrm{y}_{m} atingida pelo componente e verificar se ela é superior à altura do obstáculo H=2{,}5\\ \mathrm{m}.
  • (b) Se a altura máxima acontecer antes do obstáculo, usar a equação da trajetória para calcular \mathrm{y}(\mathrm{x}_{H}) em \mathrm{x}_{H}=5{,}0\\ \mathrm{m} e verificar a folga (clearance) com o obstáculo.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • H=2{,}5\\ \mathrm{m}.
  • \mathrm{x}_{H}=5{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Equação da trajetória:
\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{x}\tan\theta-\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos^{2}\theta}
Informações que NÃO foram fornecidas (necessárias para calcular valores numéricos):
  • O valor numérico de \mathrm{v}_{0} (diz o enunciado que foi calculado na Questão 2, mas esse valor não foi enviado aqui).
  • O ângulo de lançamento \theta (também não foi fornecido).
Consequência: Não é possível apresentar resultados numéricos finais sem os valores de \mathrm{v}_{0} e \theta. Vou, portanto, fornecer a resolução completa em termos de \mathrm{v}_{0} e \theta, explicar cada fórmula e mostrar exatamente como você testa numericamente quando tiver \mathrm{v}_{0} e \theta. Se quiser que eu calcule com números, me envie o valor de \mathrm{v}_{0} e \theta.

Passo 2

Entender como encontrar o instante e a fórmula da altura máxima: fizemos lançamento oblíquo a partir de (0,0). Vamos revisar as equações do movimento vertical (explicação didática):
  • A velocidade vertical inicial é \,v_{0y}=v_{0}\sin\theta. Isso vem da decomposição vetorial: a componente vertical do vetor inicial \vec v_0 é v_0 multiplicado pelo seno do ângulo.
  • A aceleração vertical é a gravidade g apontando para baixo. No SI normalmente usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} (pode usar 9{,}8 em exame para simplificar).
  • A velocidade vertical em tempo t é
v_{y}(t)=v_{0}\sin\theta - g t.
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical se anula, v_{y}(t_{m})=0. Assim obtemos o tempo de altura máxima t_{m}:
0=v_{0}\sin\theta - g t_{m}\quad\Longrightarrow\quad t_{m}=\frac{v_{0}\sin\theta}{g}.

Passo 3

Calcular a altura máxima \mathrm{y}_{m} usando a equação do deslocamento vertical (explicação):
  • A posição vertical em função do tempo é
y(t)=v_{0}\sin\theta\; t - \frac{1}{2}g t^{2}.
Substituímos t=t_{m} para obter a altura máxima:
\mathrm{y}_{m}=v_{0}\sin\theta\; t_{m} - \frac{1}{2}g t_{m}^{2}.
Substituindo t_{m}=\dfrac{v_{0}\sin\theta}{g} e desenvolvendo os termos:
\mathrm{y}_{m}=v_{0}\sin\theta\left(\frac{v_{0}\sin\theta}{g}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_{0}\sin\theta}{g}\right)^{2}.
Calcule cada termo:
\mathrm{y}_{m}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{g}-\frac{1}{2}\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{g}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.
Portanto a fórmula final (muito usada em exames) é:
\boxed{\displaystyle \mathrm{y}_{m}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.}

Passo 4

Verificar se \mathrm{y}_{m} é superior a H: condição simbólica e interpretação prática.
  • A condição numérica de não colisão pela comparação de alturas é:
\mathrm{y}_{m}>H\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}>H.
  • Isolando v_{0}^{2} (útil para confiar se o v_{0} obtido serve):
v_{0}^{2}>\frac{2gH}{\sin^{2}\theta}.
Interpretação: se você conhece \theta, essa é a menor energia (via v_{0}^{2}) necessária para que a altura máxima supere H. Se \theta for muito pequeno (lançamento raso), \sin^{2}\theta pequena e você vai precisar de muito \,v_{0}. Se \theta estiver entre 0^\circ e 90^\circ, \sin^{2}\theta>0 e a desigualdade faz sentido.

Passo 5

Encontrar a posição horizontal onde ocorre a altura máxima (explicação):
  • A componente horizontal da velocidade é constante: v_{0x}=v_{0}\cos\theta.
  • A posição horizontal no tempo t_{m} é
x_{m}=v_{0}\cos\theta\; t_{m}=v_{0}\cos\theta\left(\frac{v_{0}\sin\theta}{g}\right)=\frac{v_{0}^{2}\sin\theta\cos\theta}{g}.
Usando a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, obtemos a forma mais compacta:
\boxed{\displaystyle x_{m}=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{2g}.}
Condição para a altura máxima ocorrer antes do obstáculo: x_{m}<x_{H}. Portanto:
\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{2g}<x_{H}.
Isolando v_{0}^{2} (assumindo 0^\circ<\theta<90^\circ para \sin(2\theta)>0):
v_{0}^{2}<\frac{2g x_{H}}{\sin(2\theta)}.
Interpretação prática: se o v_{0} satisfaz essa desigualdade, o ponto mais alto acontece antes de \mathrm{x}_{H} e então devemos usar a equação da trajetória para achar \mathrm{y}(\mathrm{x}_{H}). Se a desigualdade for falsa ( x_{m}\ge x_{H}), o projétil ainda está subindo em x_{H} ou já passou do pico; em qualquer caso, não se aplica a hipótese “atinge a altura máxima antes do obstáculo”.

Passo 6

Calcular \mathrm{y}(\mathrm{x}_{H}) com a equação da trajetória (explicação e substituição):
  • A equação dada é
\mathrm{y}(x)=x\tan\theta-\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos^{2}\theta}.
Colocando x=x_{H} obtemos
\boxed{\displaystyle \mathrm{y}(\mathrm{x}_{H})=x_{H}\tan\theta-\frac{g x_{H}^{2}}{2 v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.}
Isto é a altura do projétil exatamente na posição horizontal do obstáculo.

Passo 7

Calcular a folga (clearance) e a condição para segurança:
  • Definimos a folga \Delta como
\Delta=\mathrm{y}(\mathrm{x}_{H})-H.
Substituindo a expressão de \mathrm{y}(\mathrm{x}_{H}):
\Delta = x_{H}\tan\theta - H - \frac{g x_{H}^{2}}{2 v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
Queremos \Delta>0 para haver folga suficiente. Reorganizando a desigualdade \Delta>0:
x_{H}\tan\theta - H > \frac{g x_{H}^{2}}{2 v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
Multiplicando ambos os lados por 2 v_{0}^{2}\cos^{2}\theta (positivo para ângulos em (0,90^\circ)):
2 v_{0}^{2}\cos^{2}\theta \left(x_{H}\tan\theta - H\right) > g x_{H}^{2}.
Isolando v_{0}^{2} (caso x_{H}\tan\theta - H>0; esse sinal é crucial):
\boxed{\displaystyle v_{0}^{2}>\frac{g x_{H}^{2}}{2\cos^{2}\theta\left(x_{H}\tan\theta - H\right)}\quad\text{(necessário para }\Delta>0\text{).}}á
Observações importantes e interpretação:
  • Antes de usar essa expressão, verifique se x_{H}\tan\theta - H>0. Se x_{H}\tan\theta - H\le 0, então mesmo no limite de \,v_{0}\to\infty o termo curvatura tende a zero e \mathrm{y}(\mathrm{x}_{H})\to x_{H}\tan\theta\le H. Ou seja, mesmo com velocidade enorme, não há folga: a reta tangente passa por baixo do obstáculo. Portanto é necessário que
x_{H}\tan\theta > H
para que exista qualquer possibilidade de \mathrm{y}(\mathrm{x}_{H})>H.
  • Se x_{m}<x_{H} (altura máxima antes do obstáculo), então a altura em x_{H} está no ramo decrescente: ainda vale a mesma equação da trajetória e a mesma condição de folga.

Passo 8

Como aplicar na prática com os números da sua Questão 2 (passo-a-passo que você pode aplicar na prova):
  1. Pegue os valores numéricos de \,v_{0} e \theta da Questão 2.
  2. Calcule \mathrm{y}_{m} pela fórmula
\mathrm{y}_{m}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.
Compare com H=2{,}5\\ \mathrm{m}. Se \mathrm{y}_{m}\le H, haverá colisão no ponto mais alto (falha).
3. Calcule x_{m} por
x_{m}=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{2g}.
Compare x_{m} com x_{H}=5{,}0\\ \mathrm{m}:
  • Se x_{m}<x_{H}, então a máxima ocorre antes do obstáculo — usar \mathrm{y}(\mathrm{x}_{H}).
  • Se x_{m}\ge x_{H}, o projétil ainda está subindo em x_{H} (ou atinge o pico lá) — você também pode usar \mathrm{y}(\mathrm{x}_{H}) diretamente; o procedimento numérico é o mesmo.
  1. Calcule \mathrm{y}(\mathrm{x}_{H}) por
\mathrm{y}(\mathrm{x}_{H})=x_{H}\tan\theta-\frac{g x_{H}^{2}}{2 v_{0}^{2}\cos^{2}\theta},
e a folga \Delta=\mathrm{y}(\mathrm{x}_{H})-H. Se \Delta>0, há folga suficiente.

Resposta

(a) \displaystyle \mathrm{y}_{m}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}. Verificação: \mathrm{y}_{m}>H se, e somente se, \displaystyle v_{0}^{2}>\frac{2gH}{\sin^{2}\theta}. \n
(b) \displaystyle \mathrm{y}(\mathrm{x}_{H})=x_{H}\tan\theta-\frac{g x_{H}^{2}}{2 v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}. Folga \Delta=\mathrm{y}(\mathrm{x}_{H})-H. Necessidade para \Delta>0: x_{H}\tan\theta>H e \displaystyle v_{0}^{2}>\frac{g x_{H}^{2}}{2\cos^{2}\theta\left(x_{H}\tan\theta - H\right)}.

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