Verificação de Interferência (Altura Máxima e Obstáculo): Com o valor de
calculado na Questão 2, o engenheiro precisa garantir que o componente não colida com o obstáculo de
em
.
a) Calcule a Altura Máxima (
) atingida pelo componente e verifique se ela é superior à altura do obstáculo (H).
b Se o componente atingir a altura máxima antes do obstáculo, use a equação da trajetória:
Calcule a altura
em que o componente passa sobre a posição do obstáculo (
) e verifique se há clearance (folga) suficiente para o projeto.
a) Calcule a Altura Máxima (
b Se o componente atingir a altura máxima antes do obstáculo, use a equação da trajetória:
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Calcular a Altura Máxima
atingida pelo componente e verificar se ela é superior à altura do obstáculo . - (b) Se a altura máxima acontecer antes do obstáculo, usar a equação da trajetória para calcular
em e verificar a folga (clearance) com o obstáculo.
Informações fornecidas pelo enunciado:
-
. -
. - Equação da trajetória:
Informações que NÃO foram fornecidas (necessárias para calcular valores numéricos):
- O valor numérico de
(diz o enunciado que foi calculado na Questão 2, mas esse valor não foi enviado aqui). - O ângulo de lançamento
(também não foi fornecido).
Consequência: Não é possível apresentar resultados numéricos finais sem os valores de
e
. Vou, portanto, fornecer a resolução completa em termos de
e
, explicar cada fórmula e mostrar exatamente como você testa numericamente quando tiver
e
. Se quiser que eu calcule com números, me envie o valor de
e
.
Passo 2
Entender como encontrar o instante e a fórmula da altura máxima: fizemos lançamento oblíquo a partir de
. Vamos revisar as equações do movimento vertical (explicação didática):
- A velocidade vertical inicial é
. Isso vem da decomposição vetorial: a componente vertical do vetor inicial é multiplicado pelo seno do ângulo. - A aceleração vertical é a gravidade
apontando para baixo. No SI normalmente usamos (pode usar em exame para simplificar). - A velocidade vertical em tempo
é
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical se anula,
. Assim obtemos o tempo de altura máxima
:
Passo 3
Calcular a altura máxima
usando a equação do deslocamento vertical (explicação):
- A posição vertical em função do tempo é
Substituímos
para obter a altura máxima:
Substituindo
e desenvolvendo os termos:
Calcule cada termo:
Portanto a fórmula final (muito usada em exames) é:
Passo 4
Verificar se
é superior a
: condição simbólica e interpretação prática.
- A condição numérica de não colisão pela comparação de alturas é:
- Isolando
(útil para confiar se o obtido serve):
Interpretação: se você conhece
, essa é a menor energia (via
) necessária para que a altura máxima supere
. Se
for muito pequeno (lançamento raso),
pequena e você vai precisar de muito
. Se
estiver entre
e
,
e a desigualdade faz sentido.
Passo 5
Encontrar a posição horizontal onde ocorre a altura máxima (explicação):
- A componente horizontal da velocidade é constante:
. - A posição horizontal no tempo
é
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma mais compacta:
Condição para a altura máxima ocorrer antes do obstáculo:
. Portanto:
Isolando
(assumindo
para
):
Interpretação prática: se o
satisfaz essa desigualdade, o ponto mais alto acontece antes de
e então devemos usar a equação da trajetória para achar
. Se a desigualdade for falsa (
), o projétil ainda está subindo em
ou já passou do pico; em qualquer caso, não se aplica a hipótese “atinge a altura máxima antes do obstáculo”.
Passo 6
Calcular
com a equação da trajetória (explicação e substituição):
- A equação dada é
Colocando
obtemos
Isto é a altura do projétil exatamente na posição horizontal do obstáculo.
Passo 7
Calcular a folga (clearance) e a condição para segurança:
- Definimos a folga
como
Substituindo a expressão de
:
Queremos
para haver folga suficiente. Reorganizando a desigualdade
:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo para ângulos em
):
Isolando
(caso
; esse sinal é crucial):
Observações importantes e interpretação:
- Antes de usar essa expressão, verifique se
. Se , então mesmo no limite de o termo curvatura tende a zero e . Ou seja, mesmo com velocidade enorme, não há folga: a reta tangente passa por baixo do obstáculo. Portanto é necessário que
para que exista qualquer possibilidade de
.
- Se
(altura máxima antes do obstáculo), então a altura em está no ramo decrescente: ainda vale a mesma equação da trajetória e a mesma condição de folga.
Passo 8
Como aplicar na prática com os números da sua Questão 2 (passo-a-passo que você pode aplicar na prova):
- Pegue os valores numéricos de
e da Questão 2. - Calcule
pela fórmula
Compare com
. Se
, haverá colisão no ponto mais alto (falha).
3. Calcule por
3. Calcule
Compare
com
:
- Se
, então a máxima ocorre antes do obstáculo — usar . - Se
, o projétil ainda está subindo em (ou atinge o pico lá) — você também pode usar diretamente; o procedimento numérico é o mesmo.
- Calcule
por
e a folga
. Se
, há folga suficiente.
Resposta
(a)
Verificação:
se, e somente se,
\n
(b) Folga
. Necessidade para
:
e
(b)