Parâmetros de Lançamento (Decomposição): O engenheiro escolhe um ângulo de lançamento \theta=60^{\circ} para garantir que o componente suba o suficiente.
a) O engenheiro precisa determinar as componentes da velocidade inicial, \mathrm{v}_{0 x} e \mathrm{v}_{0 y}, em função de \mathrm{v}_{0} e \theta.
b) O engenheiro busca saber qual tipo de movimento o componente descreve nas direções X e Y. Em seguida, este escreve a expressão da posição x(t) e y(t) em termos de v_{0}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informação dada: o ângulo de lançamento é \theta=60^\circ.
  • Informação implícita (assumida para o problema padrão de lançamento): o módulo da velocidade inicial é \mathrm{v}_0, o lançamento ocorre no instante t=0 e vamos tomar a posição inicial como (x(0),y(0))=(0,0). Desprezamos resistência do ar e consideramos aceleração da gravidade vertical para baixo com módulo g.
  • Pergunta (a): determinar as componentes da velocidade inicial \mathrm{v}_{0x} e \mathrm{v}_{0y} em função de \mathrm{v}_0 e \theta.
  • Pergunta (b): dizer que tipo de movimento ocorre nas direções X e Y e escrever as expressões de x(t) e y(t) em termos de \mathrm{v}_0 (e \theta e g, se necessário).

Passo 2

Entendendo a decomposição vetorial (a “aula rápida”): a velocidade inicial \mathrm{v}_0 é um vetor com módulo \mathrm{v}_0 que forma um ângulo \theta com a horizontal. Para obter as componentes horizontal e vertical usamos as razões trigonométricas do triângulo retângulo formado:
  • A componente horizontal é o cateto adjacente ao ângulo: isso é dado por \cos.
  • A componente vertical é o cateto oposto ao ângulo: isso é dado por \sin.
    Definições usadas: \mathrm{v}_{0x} é a componente de \mathrm{v}_0 na direção x (horizontal) e \mathrm{v}_{0y} é a componente na direção y (vertical).

Passo 3

Aplicando as razões trigonométricas, escrevemos as componentes em forma simbólica:
\mathrm{v}_{0x}=\mathrm{v}_0\cos\theta, \qquad \mathrm{v}_{0y}=\mathrm{v}_0\sin\theta.
Explicação das variáveis: \mathrm{v}_0 é o módulo da velocidade inicial (unidade, por ex., m/s), \theta é o ângulo medido a partir da horizontal, \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas do ângulo.

Passo 4

Aplicando ao caso numérico \theta=60^\circ (para ficar mais concreto): recorde rápido das razões para 60^\circ:
\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2},\qquad \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto, numericamente,
\mathrm{v}_{0x}=\tfrac{1}{2}\,\mathrm{v}_0, \qquad \mathrm{v}_{0y}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{v}_0.

Passo 5

Agora vamos falar do tipo de movimento nas direções X e Y (mini‑aula sobre acelerações):
  • Na direção X: se desprezarmos resistência do ar, não há força horizontal, logo a aceleração horizontal é zero. Movimento com aceleração nula é movimento retilíneo uniforme (MRU): velocidade constante igual a \mathrm{v}_{0x}.
  • Na direção Y: há a aceleração da gravidade apontando para baixo, de módulo g. Assim a aceleração vertical é constante e igual a -g. Movimento com aceleração constante é movimento uniformemente variado (MUV).

Passo 6

Equações horinzontal e vertical de posição (fórmulas básicas de cinemática que usamos):
  • Fórmula da posição para MRU (aceleração zero): posição = posição inicial + velocidade constante \times tempo. Com x(0)=0 e velocidade \mathrm{v}_{0x},
x(t)=\mathrm{v}_{0x}\,t.
Substituindo a expressão da componente horizontal,
x(t)=\mathrm{v}_0\cos\theta\;t.
  • Fórmula da posição para MUV (aceleração constante a): posição = posição inicial + velocidade inicial \times tempo + \tfrac{1}{2}a t^2. Para y, com y(0)=0, velocidade inicial \mathrm{v}_{0y} e aceleração a=-g,
y(t)=\mathrm{v}_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g t^2.
Substituindo a componente vertical,
y(t)=\mathrm{v}_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g t^2.

Passo 7

Para ficar prático, escrevo também as formas numéricas usando \theta=60^\circ (útil na prova se pedirem valores):
x(t)=\tfrac{1}{2}\,\mathrm{v}_0\,t, \qquad y(t)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{v}_0\,t-\tfrac{1}{2}g t^2.
Observações finais rápidas para a prova: lembre-se de sempre indicar o sinal de g (usamos -g na componente y porque a gravidade aponta para baixo) e de colocar as condições iniciais ( x(0),y(0)) — se forem diferentes, some os termos iniciais correspondentes.

Resposta

\mathrm{v}_{0x}=\mathrm{v}_0\cos\theta,\\ \mathrm{v}_{0y}=\mathrm{v}_0\sin\theta
X: movimento retilíneo uniforme; Y: movimento uniformemente variado com aceleração -g. x(t)=\mathrm{v}_0\cos\theta\;t,\qquad y(t)=\mathrm{v}_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g t^2

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