Em uma determinada cidade a quantidade de habitantes pode ser dada pela função P (t) = Po(1,02)t^ onde P é dada em quantidade de habitantes e t é o tempo em anos. Na construção dessa função foi considerado o ano inicial de estudos como sendo 1999 (quando t = 0), sendo a população inicial dada por Po. Considerando que a população em 2017 era igual a 600000 habitantes, assinale a alternativa que indica, aproximadamente, qual era a população inicial Po nessa cidade, referente ao ano de 1999:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o crescimento da população de uma cidade ao longo do tempo. A gente tem uma função que mostra como a população muda: $ P(t) = P_0 \times (1,02)^t $. Aqui, $ P $ é a população em um determinado ano, $ P_0 $ é a população inicial em 1999 (quando $ t = 0 $), e $ t $ é o tempo em anos. A gente sabe que em 2017, que são 18 anos depois de 1999, a população era de 600.000 habitantes. Nosso objetivo é descobrir qual era a população inicial $ P_0 $ em 1999.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da função de crescimento populacional: $ P(t) = P_0 \times (1,02)^t $. Essa é uma função exponencial, onde a população cresce a uma taxa de 2% ao ano (por isso o 1,02 dentro da potência). O $ t $ representa o tempo que passou desde o ano inicial (1999).

Passo 3

Sabemos que em 2017, $ t = 18 $ anos, e a população $ P(18) = 600.000 $. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar $ P_0 $:
t = 18

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar $ P_0 $. Para isso, vamos isolar $ P_0 $:
P0

Passo 5

Vamos calcular $ (1,02)^{18} $. Usando uma calculadora:
(1,02)^18

Passo 6

Agora, substituímos esse valor de volta na equação:
P0 = 600.0001,423 approx 421.679

Resposta

A população inicial $ P_0 $ em 1999 era aproximadamente 421.679 habitantes.

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