Uma determinada fábrica possui 2 máquinas e uma equipe de reparos. Suponha que a probabilidade de qualquer máquina vir a quebrar em um dado dia seja \alpha. Suponha que, caso a equipe de reparos esteja trabalhando em uma máquina, a probabilidade de que venha a completar os reparos em até um dia seja \beta. Para simplificar ignore a possibilidade de um término de reparo ou de uma avaria ocorrer, em outro caso que não seja ao final de um dia. Considere
que Xn represente o número de máquinas em funcionamento ao final do n -ésimo dia e suponha que o comportamento de \{\mathrm{Xn} } possa ser considerado do tipo markoviano. Se o sistema começa com ambas as máquinas funcionando, qual é a probabilidade de que ambas estejam em funcionamento dois dias depois?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que ambas as máquinas estejam funcionando ao final do segundo dia, dado que no início (dia zero) ambas funcionavam. Informações dadas:
  • Há 2 máquinas e 1 equipe de reparos que só consegue trabalhar em uma máquina por dia.
  • A probabilidade de qualquer máquina vir a quebrar em um dado dia é \alpha. (Quebras em máquinas distintas são tratadas como eventos independentes no mesmo dia.)
  • Se a equipe está trabalhando em uma máquina quebrada, a probabilidade de completar o reparo em até um dia é \beta.
  • Mudanças (quebra ou término de reparo) só ocorrem ao final do dia.
  • X_n é o número de máquinas em funcionamento ao final do n-ésimo dia; supõe‑se que \{X_n\} é markoviano.
  • Condição inicial: X_0=2 (ambas funcionando).
  • Pergunta: calcular \Pr(X_2=2 \mid X_0=2).

Passo 2

Vamos construir as probabilidades de transição em um dia entre os estados possíveis 0,1,2 (número de máquinas funcionando ao final do dia). Começo pelo estado 2 (duas funcionando ao início do dia, ou seja, ao final do dia anterior).
Raciocínio para a transição a partir de 2 durante um dia:
  • Cada máquina funcionando pode quebrar no dia com probabilidade \alpha, independente da outra.
  • Se exatamente uma máquina quebra (probabilidade 2\alpha(1-\alpha)), a equipe repara essa máquina durante o dia e, ao final do dia, o reparo é concluído com probabilidade \beta. Se o reparo for concluído ficamos com 2 funcionando; se não, ficamos com 1.
  • Se nenhuma quebra (probabilidade (1-\alpha)^2), permanecemos com 2.
  • Se ambas quebram (probabilidade \alpha^2), a equipe só pode trabalhar em uma: se ela conclui o reparo (prob. \beta) ficamos com 1 funcionando; se não ( 1-\beta) ficamos com 0.
Dessa análise obtemos as transições saindo de 2:
\begin{aligned} \Pr(2\to 2)&=(1-\alpha)^2 + 2\alpha(1-\alpha)\beta,\\[4pt] \Pr(2\to 1)&=2\alpha(1-\alpha)(1-\beta)+\alpha^2\beta,\\[4pt] \Pr(2\to 0)&=\alpha^2(1-\beta). \end{aligned}]

Passo 3

Agora as transições a partir do estado 1 (uma máquina funcionando e outra quebrada, com a equipe trabalhando na quebrada durante o dia).
Raciocínio para 1\to\cdot:
  • A máquina que está funcionando pode quebrar durante o dia com prob. \alpha ou não com prob. 1-\alpha.
  • A equipe tenta reparar a quebrada e completa o reparo ao final do dia com prob. \beta ou não com prob. 1-\beta.
  • São quatro combinações (evento da máquina funcionando e evento do reparo); contar resultados:
    • Se a máquina funcionando não quebra ( 1-\alpha) e o reparo termina ( \beta) → ficamos com 2.
    • Se a máquina funcionando não quebra ( 1-\alpha) e o reparo não termina ( 1-\beta) → ficamos com 1.
    • Se a máquina funcionando quebra ( \alpha) e o reparo termina ( \beta) → sempre ficamos com 1 (uma foi reparada, a outra quebrou).
    • Se a máquina funcionando quebra ( \alpha) e o reparo não termina ( 1-\beta) → ficamos com 0.
Portanto:
\begin{aligned} \Pr(1\to 2)&=(1-\alpha)\beta,\\[4pt] \Pr(1\to 1)&=(1-\alpha)(1-\beta)+\alpha\beta,\\[4pt] \Pr(1\to 0)&=\alpha(1-\beta). \end{aligned}]

Passo 4

Transições a partir do estado 0 (nenhuma máquina funcionando ao início do dia — ambas quebradas).
Raciocínio:
  • A equipe só consegue trabalhar em uma máquina; ao final do dia consegue repará‑la com prob. \beta, ficando com 1 funcionando; se não, permanece com 0.
Assim:
\Pr(0\to 1)=\beta,\qquad \Pr(0\to 0)=1-\beta,\qquad \Pr(0\to 2)=0.

Passo 5

Reunindo, temos as probabilidades relevantes (mostro apenas as entradas que usaremos):
\begin{aligned} P_{22} &= \Pr(2\to 2) = (1-\alpha)^2 + 2\alpha(1-\alpha)\beta,\\[4pt] P_{21} &= \Pr(2\to 1) = 2\alpha(1-\alpha)(1-\beta)+\alpha^2\beta,\\[4pt] P_{20} &= \Pr(2\to 0) = \alpha^2(1-\beta), \end{aligned}
\begin{aligned} P_{12} &= \Pr(1\to 2) = (1-\alpha)\beta,\\[4pt] P_{11} &= \Pr(1\to 1) = (1-\alpha)(1-\beta)+\alpha\beta,\\[4pt] P_{10} &= \Pr(1\to 0) = \alpha(1-\beta), \end{aligned}
P_{01}=\beta,\qquad P_{00}=1-\beta,\qquad P_{02}=0.]

Passo 6

Usamos a propriedade de Markov e a regra da probabilidade total para obter a probabilidade de estar em 2 após dois passos, partindo de 2:
\Pr(X_2=2\mid X_0=2)=\sum_{j=0}^{2}\Pr(X_1=j\mid X_0=2)\Pr(X_2=2\mid X_1=j).
Das transições observadas, P_{02}=0, logo a soma reduz a dois termos:
\Pr(X_2=2\mid X_0=2)=P_{22}^2 + P_{21}P_{12}.
Substituindo as expressões encontradas:
\Pr(X_2=2\mid X_0=2)=\big((1-\alpha)^2+2\alpha(1-\alpha)\beta\big)^2+\big(2\alpha(1-\alpha)(1-\beta)+\alpha^2\beta\big)\big((1-\alpha)\beta\big).

Passo 7

Posso expandir a expressão para uma forma polinomial em \alpha,\beta. Uma expansão é:
\Pr(X_2=2\mid X_0=2)=(1-\alpha)^4+4\alpha(1-\alpha)^3\beta+4\alpha^2(1-\alpha)^2\beta^2+2\alpha\beta(1-\beta)(1-\alpha)^2+\alpha^2\beta^2(1-\alpha).

Resposta

\Pr(X_2=2\mid X_0=2)=\big((1-\alpha)^2+2\alpha(1-\alpha)\beta\big)^2+\big(2\alpha(1-\alpha)(1-\beta)+\alpha^2\beta\big)\big((1-\alpha)\beta\big).

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