Uma determinada fábrica possui 2 máquinas e uma equipe de reparos. Suponha que a probabilidade de qualquer máquina vir a quebrar em um dado dia seja
. Suponha que, caso a equipe de reparos esteja trabalhando em uma máquina, a probabilidade de que venha a completar os reparos em até um dia seja
. Para simplificar ignore a possibilidade de um término de reparo ou de uma avaria ocorrer, em outro caso que não seja ao final de um dia. Considere
que Xn represente o número de máquinas em funcionamento ao final do n -ésimo dia e suponha que o comportamento de
} possa ser considerado do tipo markoviano. Se o sistema começa com ambas as máquinas funcionando, qual é a probabilidade de que ambas estejam em funcionamento dois dias depois?
que Xn represente o número de máquinas em funcionamento ao final do n -ésimo dia e suponha que o comportamento de
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que ambas as máquinas estejam funcionando ao final do segundo dia, dado que no início (dia zero) ambas funcionavam. Informações dadas:
- Há 2 máquinas e 1 equipe de reparos que só consegue trabalhar em uma máquina por dia.
- A probabilidade de qualquer máquina vir a quebrar em um dado dia é
. (Quebras em máquinas distintas são tratadas como eventos independentes no mesmo dia.) - Se a equipe está trabalhando em uma máquina quebrada, a probabilidade de completar o reparo em até um dia é
. - Mudanças (quebra ou término de reparo) só ocorrem ao final do dia.
-
é o número de máquinas em funcionamento ao final do -ésimo dia; supõe‑se que é markoviano. - Condição inicial:
(ambas funcionando). - Pergunta: calcular
.
Passo 2
Vamos construir as probabilidades de transição em um dia entre os estados possíveis
(número de máquinas funcionando ao final do dia). Começo pelo estado
(duas funcionando ao início do dia, ou seja, ao final do dia anterior).
Raciocínio para a transição a partir de
durante um dia:
- Cada máquina funcionando pode quebrar no dia com probabilidade
, independente da outra. - Se exatamente uma máquina quebra (probabilidade
), a equipe repara essa máquina durante o dia e, ao final do dia, o reparo é concluído com probabilidade . Se o reparo for concluído ficamos com funcionando; se não, ficamos com . - Se nenhuma quebra (probabilidade
), permanecemos com . - Se ambas quebram (probabilidade
), a equipe só pode trabalhar em uma: se ela conclui o reparo (prob. ) ficamos com funcionando; se não ( ) ficamos com .
Dessa análise obtemos as transições saindo de
:
Passo 3
Agora as transições a partir do estado
(uma máquina funcionando e outra quebrada, com a equipe trabalhando na quebrada durante o dia).
Raciocínio para
:
- A máquina que está funcionando pode quebrar durante o dia com prob.
ou não com prob. . - A equipe tenta reparar a quebrada e completa o reparo ao final do dia com prob.
ou não com prob. . - São quatro combinações (evento da máquina funcionando e evento do reparo); contar resultados:
- Se a máquina funcionando não quebra (
) e o reparo termina ( ) → ficamos com . - Se a máquina funcionando não quebra (
) e o reparo não termina ( ) → ficamos com . - Se a máquina funcionando quebra (
) e o reparo termina ( ) → sempre ficamos com (uma foi reparada, a outra quebrou). - Se a máquina funcionando quebra (
) e o reparo não termina ( ) → ficamos com .
- Se a máquina funcionando não quebra (
Portanto:
Passo 4
Transições a partir do estado
(nenhuma máquina funcionando ao início do dia — ambas quebradas).
Raciocínio:
- A equipe só consegue trabalhar em uma máquina; ao final do dia consegue repará‑la com prob.
, ficando com funcionando; se não, permanece com .
Assim:
Passo 5
Reunindo, temos as probabilidades relevantes (mostro apenas as entradas que usaremos):
Passo 6
Usamos a propriedade de Markov e a regra da probabilidade total para obter a probabilidade de estar em
após dois passos, partindo de
:
Das transições observadas,
, logo a soma reduz a dois termos:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 7
Posso expandir a expressão para uma forma polinomial em
. Uma expansão é: