The time-harmonic complex electric field radiated by a current-carrying small circular loop in free space is given by
\mathbf{E}=\hat{\mathbf{a}}_{\varphi} E_{0} \frac{\sin \theta}{r}\left[1+\frac{1}{j \beta_{0} r}\right] e^{-j \beta_{0} r}
where \hat{\mathbf{a}}_{\varphi} is the spherical unit vector in the \varphi direction, E_{0} is a constant, and \beta_{0}=\omega \sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}. Determine the corresponding spherical magnetic field components.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico complexo harmônico (em coordenadas esféricas) radiado por um pequeno loop circular em espaço livre:
\mathbf{E}=\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}\,E_{0}\,\frac{\sin\theta}{r}\!\left[1+\frac{1}{j\beta_{0}r}\right]e^{-j\beta_{0}r}.
O que se pede: determinar os componentes esféricos do campo magnético \mathbf{H} correspondentes (ou seja, H_{r}, H_{\theta} e H_{\varphi}).\n
Informações relevantes que o enunciado dá e que usaremos sem perguntar nada:
  • o único componente não nulo de \mathbf{E} é E_{\varphi} e ele depende só de r e \theta (não depende de \varphi);
  • definimos \beta_{0}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} (também escrevo \beta_{0}=k quando for conveniente);
  • \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}} é a impedância intrínseca do meio (espaço livre);
  • queremos as componentes esféricas (r,\theta,\varphi) de \mathbf{H}.

Passo 2

Vamos usar a equação de Maxwell (no domínio da frequência, convenção de fase escolhida e^{j\omega t}, que é a mais comum em eletrônica/antenas):
\nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu_{0}\,\mathbf{H}.
Dessa equação isolamos \mathbf{H}:
\mathbf{H}=\frac{1}{-j\omega\mu_{0}}\,\nabla\times\mathbf{E}=\frac{j}{\omega\mu_{0}}\,\nabla\times\mathbf{E}.
Uma simplificação útil, relacionando \omega\mu_{0} com \beta_{0} e \eta_{0}: como \beta_{0}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} e \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}, segue
\omega\mu_{0}=\beta_{0}\eta_{0},
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\frac{j}{\omega\mu_{0}}=\frac{j}{\beta_{0}\eta_{0}}.
Vou usar tanto \beta_{0} quanto \eta_{0} nas fórmulas finais porque são naturais aqui.

Passo 3

Precisamos calcular \nabla\times\mathbf{E} em coordenadas esféricas. Se um campo tem apenas componente \varphi (isto é, E_{r}=0,\;E_{\theta}=0,\;E_{\varphi}\neq0) e não depende de \varphi, as componentes do rotacional simplificadas são:
(\nabla\times\mathbf{E})_{r}=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,E_{\varphi}\big),
(\nabla\times\mathbf{E})_{\theta}=-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r\,E_{\varphi}\big),
(\nabla\times\mathbf{E})_{\varphi}=0.
Portanto só precisamos das duas derivadas indicadas acima aplicadas ao E_{\varphi} dado.

Passo 4

Escrevo explicitamente E_{\varphi} na forma útil para derivar:
E_{\varphi}(r,\theta)=E_{0}\,\frac{\sin\theta}{r}\left[1+\frac{1}{j\beta_{0}r}\right]e^{-j\beta_{0}r}.
Defino duas funções apenas para clareza:
F(r)=\frac{1}{r}\Big(1+\frac{1}{j\beta_{0}r}\Big)e^{-j\beta_{0}r},\qquad\text{de modo que}\quad E_{\varphi}=E_{0}\sin\theta\,F(r).
Calculo a derivada angular que entra em (\nabla\times\mathbf{E})_{r}:
\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,E_{\varphi}\big) =\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\cdot E_{0}\sin\theta\,F(r)\big) =E_{0}F(r)\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin^{2}\theta\big) =2E_{0}F(r)\sin\theta\cos\theta.
Logo
(\nabla\times\mathbf{E})_{r}=\frac{1}{r\sin\theta}\cdot 2E_{0}F(r)\sin\theta\cos\theta =\frac{2E_{0}F(r)\cos\theta}{r}.
Agora usamos \mathbf{H}=\dfrac{j}{\omega\mu_{0}}\nabla\times\mathbf{E} e \dfrac{j}{\omega\mu_{0}}=\dfrac{j}{\beta_{0}\eta_{0}}. Assim
H_{r}=\frac{j}{\beta_{0}\eta_{0}}\cdot\frac{2E_{0}F(r)\cos\theta}{r}.
Substituindo F(r)=\dfrac{1}{r}\left(1+\dfrac{1}{j\beta_{0}r}\right)e^{-j\beta_{0}r} obtemos (faça comigo passo a passo):
H_{r}=\frac{2E_{0}\cos\theta}{\beta_{0}\eta_{0}}\cdot\frac{j}{r}\cdot\frac{1}{r}\Big(1+\frac{1}{j\beta_{0}r}\Big)e^{-j\beta_{0}r}.
Agrupando termos complexos j\big(1+\tfrac{1}{j\beta_{0}r}\big)=j+\tfrac{1}{\beta_{0}r}, resulta
H_{r}=\frac{2E_{0}\cos\theta\,e^{-j\beta_{0}r}}{\eta_{0}}\left[\frac{j}{\beta_{0}r^{2}}+\frac{1}{\beta_{0}^{2}r^{3}}\right].
Essa expressão mostra os termos de ordem \tfrac{1}{r^{2}} e \tfrac{1}{r^{3}} típicos do campo radial magnético de um dipolo magnético (loop pequeno).

Passo 5

Agora calculamos H_{\theta}. Primeiro observo
rE_{\varphi}=E_{0}\sin\theta\underbrace{\big(1+\frac{1}{j\beta_{0}r}\big)e^{-j\beta_{0}r}}_{=:G(r)}.
Então
(\nabla\times\mathbf{E})_{\theta}=-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rE_{\varphi}) =-\frac{E_{0}\sin\theta}{r}\,G'(r).
Calculo G'(r). Escrevo G(r)=\big(1+\tfrac{1}{j\beta_{0}r}\big)e^{-j\beta_{0}r}. Derivando produto:
G'(r)=e^{-j\beta_{0}r}\left[-j\beta_{0}\Big(1+\frac{1}{j\beta_{0}r}\Big)\right]+e^{-j\beta_{0}r}\left(-\frac{1}{j\beta_{0}r^{2}}\right).
Simplificando o primeiro termo: -j\beta_{0}\cdot\frac{1}{j\beta_{0}r}=-\frac{1}{r}. Portanto
G'(r)=e^{-j\beta_{0}r}\left[-j\beta_{0}-\frac{1}{r}-\frac{1}{j\beta_{0}r^{2}}\right].
Substituindo em (\nabla\times\mathbf{E})_{\theta} e aplicando \mathbf{H}=\dfrac{j}{\omega\mu_{0}}\nabla\times\mathbf{E}=\dfrac{j}{\beta_{0}\eta_{0}}\nabla\times\mathbf{E} obtemos
H_{\theta}=\frac{j}{\beta_{0}\eta_{0}}\left(-\frac{E_{0}\sin\theta}{r}\right)G'(r).
Substituindo G'(r) e simplificando o produto j\big(-j\beta_{0}\big) = -j\cdot j\beta_{0} = -(-1)\beta_{0}= \beta_{0} com atenção aos sinais e termos, chega-se (após reorganizar) à forma:
H_{\theta}=\frac{E_{0}}{\eta_{0}}\,e^{-j\beta_{0}r}\sin\theta\left[-\frac{1}{r}+\frac{j}{\beta_{0}r^{2}}+\frac{1}{\beta_{0}^{2}r^{3}}\right].
Observação prática: o termo de ordem \tfrac{1}{r} é o termo de radiação (dominante a grandes distâncias), e os termos \tfrac{1}{r^{2}},\tfrac{1}{r^{3}} são campos próximos (reativos/indutivos).

Passo 6

Finalmente, pela simetria do problema (campo elétrico só em \varphi e sem dependência em \varphi), o componente azimutal do rotacional é zero, portanto
H_{\varphi}=0.
Breve interpretação física: as componentes não nulas (H_{r},H_{\theta}) são exatamente o padrão de um dipolo magnético (loop pequeno). Em particular o campo de radiação magnética, a grande distância, é dado por H_{\theta} com o termo -\dfrac{E_{0}}{\eta_{0}}\dfrac{\sin\theta}{r}e^{-j\beta_{0}r}, o que mantém a razão E_{\varphi}/H_{\theta}\approx\eta_{0} na zona de radiação (a menos do sinal).

Resposta

H_{r}=\dfrac{2E_{0}\cos\theta\,e^{-j\beta_{0}r}}{\eta_{0}}\displaystyle\left[\dfrac{j}{\beta_{0}r^{2}}+\dfrac{1}{\beta_{0}^{2}r^{3}}\right] \n
H_{\theta}=\dfrac{E_{0}e^{-j\beta_{0}r}\sin\theta}{\eta_{0}}\displaystyle\left[-\dfrac{1}{r}+\dfrac{j}{\beta_{0}r^{2}}+\dfrac{1}{\beta_{0}^{2}r^{3}}\right] \n
H_{\varphi}=0

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