where \hat{\mathbf{a}}_{\varphi} is the spherical unit vector in the \varphi direction, E_{0} is a constant, and \beta_{0}=\omega \sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}. Determine the corresponding spherical magnetic field components.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico complexo harmônico (em coordenadas esféricas) radiado por um pequeno loop circular em espaço livre:
O que se pede: determinar os componentes esféricos do campo magnético \mathbf{H} correspondentes (ou seja, H_{r}, H_{\theta} e H_{\varphi}).\n
Informações relevantes que o enunciado dá e que usaremos sem perguntar nada:
o único componente não nulo de \mathbf{E} é E_{\varphi} e ele depende só de r e \theta (não depende de \varphi);
definimos \beta_{0}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} (também escrevo \beta_{0}=k quando for conveniente);
\eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}} é a impedância intrínseca do meio (espaço livre);
queremos as componentes esféricas (r,\theta,\varphi) de \mathbf{H}.
Passo 2
Vamos usar a equação de Maxwell (no domínio da frequência, convenção de fase escolhida e^{j\omega t}, que é a mais comum em eletrônica/antenas):
Uma simplificação útil, relacionando \omega\mu_{0} com \beta_{0} e \eta_{0}: como \beta_{0}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} e \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}, segue
Vou usar tanto \beta_{0} quanto \eta_{0} nas fórmulas finais porque são naturais aqui.
Passo 3
Precisamos calcular \nabla\times\mathbf{E} em coordenadas esféricas. Se um campo tem apenas componente \varphi (isto é, E_{r}=0,\;E_{\theta}=0,\;E_{\varphi}\neq0) e não depende de \varphi, as componentes do rotacional simplificadas são:
Substituindo em (\nabla\times\mathbf{E})_{\theta} e aplicando \mathbf{H}=\dfrac{j}{\omega\mu_{0}}\nabla\times\mathbf{E}=\dfrac{j}{\beta_{0}\eta_{0}}\nabla\times\mathbf{E} obtemos
Substituindo G'(r) e simplificando o produto j\big(-j\beta_{0}\big) = -j\cdot j\beta_{0} = -(-1)\beta_{0}= \beta_{0} com atenção aos sinais e termos, chega-se (após reorganizar) à forma:
Observação prática: o termo de ordem \tfrac{1}{r} é o termo de radiação (dominante a grandes distâncias), e os termos \tfrac{1}{r^{2}},\tfrac{1}{r^{3}} são campos próximos (reativos/indutivos).
Passo 6
Finalmente, pela simetria do problema (campo elétrico só em \varphi e sem dependência em \varphi), o componente azimutal do rotacional é zero, portanto
H_{\varphi}=0.
Breve interpretação física: as componentes não nulas (H_{r},H_{\theta}) são exatamente o padrão de um dipolo magnético (loop pequeno). Em particular o campo de radiação magnética, a grande distância, é dado por H_{\theta} com o termo -\dfrac{E_{0}}{\eta_{0}}\dfrac{\sin\theta}{r}e^{-j\beta_{0}r}, o que mantém a razão E_{\varphi}/H_{\theta}\approx\eta_{0} na zona de radiação (a menos do sinal).