Uma determinada indústria química deseja recuperar no mínimo 86 \% do \mathrm{TiO}_{2} (rutílio) contido em 2150 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{min} de uma suspensão de \mathrm{TiO}_{2} em ar a 350^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , utilizando uma bateria de
ciclones Stairmand HE em paralelo. Sabe-se que a distribuição de tamanhos das partículas obedece ao modelo Rosin-Rammler com parâmetros \mathrm{k}=20,8 \mu \mathrm{~m} e \mathrm{m}=0,70. Especificar a bateria de ciclones necessária.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei todos os números do enunciado).
  • Dados do enunciado:
    • Vazão volumétrica de gás-sólido: 2150\\ \mathrm{ft}^3/\min.
    • Gás: ar a 350^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}.
    • Objetivo: recuperar no mínimo 86\% da massa de \mathrm{TiO}_2 (rutílio).
    • Distribuição de tamanhos das partículas: modelo Rosin–Rammler com parâmetros k=20{,}8\\ \mu\mathrm{m} (escala) e m=0{,}70 (forma).
    • Tipo de equipamento a usar: bateria de ciclones Stairmand HE em paralelo.
  • Pergunta que devemos responder:
    • Especificar a bateria de ciclones necessária (ou dizer se é viável) para alcançar pelo menos 86\% de recuperação.
  • Observações e constantes que vou usar (explicito porque não vieram no enunciado):
    • Densidade das partículas (rutílio, \mathrm{TiO}_2): vou usar \rho_p = 4{,}23\\ \mathrm{g/cm^3} = 4{,}23\times10^3\\ \mathrm{kg/m^3} (valor típico de literatura).
    • Para o ar a 350^\circ\mathrm{C} vou calcular densidade e viscosidade (usarei fórmula dos gases ideais e Sutherland) — isso porque o desempenho do ciclone depende das propriedades do gás.
    • Notas: se, em algum passo seguinte, for necessário um gráfico ou curva fabricante (por exemplo curva d_{50} vs vazão para um modelo Stairmand HE específico), eu digo explicitamente que essa curva é necessária; sem ela não é possível dar uma especificação rígida do número e diâmetro exatos dos ciclones.

Passo 2

Converter unidades e calcular as propriedades do ar a 350^\circ\mathrm{C}.
  • Converter a vazão volumétrica: 1\\ \mathrm{ft}^3 = 0{,}0283168\\ \mathrm{m}^3,portanto Q_{tot} = 2150\\ \mathrm{ft}^3/\min = 2150\times0{,}0283168\\ \mathrm{m}^3/\min.Vou converter para \mathrm{m}^3/\mathrm{s}: Q_{tot} = 2150\cdot0{,}0283168\;/\;60
Q_{tot} \approx 1{,}015\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Temperatura absoluta:
    T = 350^\circ\mathrm{C} = 350+273{,}15 = 623{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Densidade do ar (equação dos gases ideais; R_{\rm ar}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}):
    \rho_g = \frac{P}{R_{\rm ar} T} = \frac{101325}{287\cdot623{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3}.
\rho_g \approx 0{,}568\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade dinâmica do ar (Sutherland). Usando parâmetros padrão ( \mu_0=1{,}716\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} a T_0=273\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K}): \mu = \mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S}.Substituindo: \mu \approx 1{,}716\times10^{-5}\left(\frac{623{,}15}{273}\right)^{3/2}\frac{273+110{,}4}{623{,}15+110{,}4}.
\mu \approx 3{,}10\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Resumo numérico (usar estes valores adiante):
  • Q_{tot}\approx 1{,}015\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • \rho_g\approx 0{,}568\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • \mu\approx 3{,}10\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • \rho_p=4{,}23\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3} (assumido).

Passo 3

Entender como a distribuição Rosin–Rammler se usa para calcular a fração de massa retida por um ciclone com um “corte” dado; ensinar o conceito passo a passo.
  • O modelo Rosin–Rammler (forma usual) dá a fração acumulada de partículas com diâmetro menor ou igual a d (fração “undersize”) por
    Q(d)=1-\exp\!\Big[-\Big(\frac{d}{k}\Big)^m\Big],
    onde:
    • k é o parâmetro de escala (aqui k=20{,}8\\ \mu\mathrm{m}); por construção, Q(k)=1-e^{-1}\approx0{,}632, ou seja, 63{,}2\% da massa é menor que k.
    • m é o parâmetro de forma (aqui m=0{,}70).
  • A fração de massa com diâmetro maior que d (oversize) é
    1-Q(d)=\exp\!\Big[-\Big(\frac{d}{k}\Big)^m\Big].
  • Interpretação prática para ciclone com corte “ideal” (modelo simplificado e didático):
    • Se um ciclone fosse um “corte perfeito” em d_c (significa: captura 100% das partículas com d\ge d_c e 0% das com d<d_c), então a fração de massa capturada seria exatamente a fração “oversize” associada a d_c, isto é \eta_{\rm ideal}(d_c) = \exp\!\Big[-\Big(\frac{d_c}{k}\Big)^m\Big].
    • Essa hipótese de “corte perfeito” é uma aproximação. Na prática um ciclone tem uma curva de eficiência gradual (algumas partículas menores também são capturadas, e algumas maiores escapam), mas o corte ideal é uma boa primeira estimativa para saber se o objetivo é realista.
Vou usar essa hipótese inicial (corte perfeito) para calcular qual diâmetro de corte d_c seria necessário para que a fração capturada seja 86\%. Depois vamos discutir se Stairmand HE pode alcançar esse d_c e a viabilidade prática.

Passo 4

Calcular o diâmetro de corte d_c requerido para conseguir 86\% de recuperação com o modelo Rosin–Rammler (usando a aproximação de corte perfeito).
  • Queremos \eta_{\rm ideal}(d_c)=0{,}86. Então \exp\!\Big[-\Big(\frac{d_c}{k}\Big)^m\Big] = 0{,}86.Tomando logaritmo: -\Big(\frac{d_c}{k}\Big)^m = \ln(0{,}86).
\Big(\frac{d_c}{k}\Big)^m = -\ln(0{,}86).
Calculemos numericamente: -\ln(0{,}86)\approx 0{,}15082.
Portanto
\frac{d_c}{k} = \big(0{,}15082\big)^{1/m}.
Lembrando k=20{,}8\\ \mu\mathrm{m} e m=0{,}70, temos
d_c = k\cdot\big(0{,}15082\big)^{1/0{,}70}.
d_c \approx 20{,}8\\ \mu\mathrm{m}\times\big(0{,}15082\big)^{1{,}42857}.
d_c \approx 1{,}39\\ \mu\mathrm{m}.
Interpretação simples: se o ciclone tivesse um corte perfeito em d_c\approx 1{,}39\\ \mu\mathrm{m}, então 86\% da massa total estaria em partículas de diâmetro maior ou igual a 1{,}39\\ \mu\mathrm{m} e seria capturada.
Observação didática: este resultado mostra que a maior parte da massa (86%) está em partículas maiores do que apenas 1{,}4\\ \mu\mathrm{m}. Dado que k=20{,}8\\ \mu\mathrm{m} e m=0{,}70, a distribuição é ampla com muita massa em diâmetros pequenos, portanto atingir 86\% exige cortar em diâmetros muito pequenos.

Passo 5

Discutir a capacidade real de ciclones Stairmand HE e comparar com o d_c requerido; conclusão sobre viabilidade prática e especificação da bateria.
  • Como ciclones realmente funcionam:
    • Um ciclone real tem uma curva de eficiência \eta(d) gradual, e seu parâmetro característico é o diâmetro de corte d_{50} — o diâmetro para o qual 50\% das partículas daquele tamanho são coletadas.
    • Para um ciclone Stairmand HE bem projetado, o d_{50} depende fortemente da geometria do ciclone e da velocidade tangencial no interior (que depende da vazão por ciclone e do tamanho do ciclone). Valores típicos de d_{50} para ciclones industriais comerciais variam do intervalo de alguns micrômetros (ciclones muito pequenos e de alta velocidade/energia) até dezenas ou centenas de micrômetros (ciclones maiores e de baixa energia).
    • Na prática, ciclones “industriais” tipo Stairmand HE conseguem d_{50} tipicamente na faixa \sim 5\text{–}50\\ \mu\mathrm{m} dependendo do tamanho e velocidade. Baixar d_{50} para abaixo de 2\\ \mu\mathrm{m} com um ciclone só é extremamente difícil e exige geometrias muito pequenas e velocidades muito altas (o que causa queda de pressão enorme e problemas operacionais).
  • Comparação com o d_c requerido:
    • Do passo anterior temos d_c\approx 1{,}39\\ \mu\mathrm{m}. Isso significa que, mesmo no caso ideal (corte perfeito), precisaríamos de um equipamento que efetivamente capture praticamente toda a massa de partículas com diâmetro maior que 1{,}4\\ \mu\mathrm{m}.
    • Um ciclone Stairmand HE usualmente não atinge um d_{50} tão baixo em condições industriais práticas sem penalidades enormes. Conseguir um d_{50}\lesssim 1{,}4\\ \mu\mathrm{m} exigiria ciclones muito pequenos em grande número e/ou velocidades internas altíssimas (muito alta perda de carga), o que é geralmente considerado impraticável.
  • Conclusão prática (especificação):
    • É razoável concluir que uma bateria de ciclones Stairmand HE, sozinha e em condições industriais normais, não é uma solução prática para alcançar 86\% de recuperação de \mathrm{TiO}_2 com a distribuição dada — porque o d_{50} necessário ( \approx 1{,}4\\ \mu\mathrm{m}) está abaixo da capacidade prática típica do equipamento.
    • Portanto a especificação é: NÃO é viável obter 86\% de recuperação apenas com ciclones Stairmand HE padrão. Para atender a essa meta existem duas alternativas práticas:
      1. Usar ciclones como pré-separadores (remover a fração grossa) e depois um coletor de alta eficiência (filtro de mangas ou precipitador eletrostático) para remover a fração fina e atingir a recuperação total \ge 86\%.
      2. Se a imposição for usar somente ciclones, seria necessário recorrer a uma bateria muito grande de ciclones muito pequenos (geometrias especiais) operando a velocidades internas muito altas — solução tipicamente não prática por queda de pressão, erosão e custo. Sem curvas de fabricante e estudo detalhado de perda de carga não se pode dar um número concreto de unidades viáveis.

Passo 6

Dar um exemplo numérico ilustrativo (estimativa) para tornar concreto por que a opção “só ciclones” é impraticável.
  • Suponha (hipótese ilustrativa) que um pequeno ciclone Stairmand HE comercial consiga um d_{50}\approx 5\\ \mu\mathrm{m} quando operando numa vazão por ciclone Q_{\rm cyc} compatível com perda de carga aceitável. Mesmo nesse caso (melhor cenário prático), usando o modelo aproximado de corte perfeito, a fração capturada seria \eta \approx \exp\!\Big[-\Big(\frac{5}{20{,}8}\Big)^{0{,}70}\Big].Calculemos (apenas para ver a ordem): \Big(\frac{5}{20{,}8}\Big)^{0{,}70}\approx (0{,}2404)^{0{,}70}\approx 0{,}346,
\eta \approx e^{-0{,}346}\approx 0{,}71\quad\text{(71\% de captura)}.
Ou seja, um ciclone com d_{50}\approx5\\ \mu\mathrm{m} já capturaria só cerca de 71\% (baixo do alvo 86\%). Para chegar a 86\% precisamos claramente de d_{50} bem menor (como calculado: \approx1{,}4\\ \mu\mathrm{m}).
  • Para tornar d_{50} de 5\\ \mu\mathrm{m} para 1{,}4\\ \mu\mathrm{m} seria necessário reduzir o parâmetro que controla d_{50} (aumentar a força centrífuga, i.e., aumentar velocidade tangencial e/ou reduzir o tamanho do ciclone), o que implica aumentar perdas de carga por ordem de magnitude e/ou usar dezenas-centenas de ciclones muito pequenos. Em instalações típicas isso não é aceitável.

Passo 7

Recomendação final e especificação prática a entregar ao projetista (resumo prático e acionável).
  • Resultado numérico imprescindível (de design): o corte necessário (hipótese de corte perfeito) para 86\% de recuperação é d_c \approx 1{,}39\\ \mu\mathrm{m}.
  • Especificação prática:
    • Não especificar apenas “N ciclones Stairmand HE” porque, com curvas reais de fabricante, a bateria necessária seria imensa e com perda de carga impraticável.
    • Recomendação técnica de projeto:
      1. Usar uma bateria de ciclones Stairmand HE como pré-separador para retirar a fração grossa (por exemplo projetar para d_{50} prático \sim 5\text{–}10\\ \mu\mathrm{m}); isso reduzirá muito a carga do coletor final.
      2. Em seguida instalar um coletor de alta eficiência para partículas finas (filtro de mangas ou precipitador eletrostático) para garantir a recuperação final \ge 86\%.
    • Se for absolutamente necessário tentar um sistema só com ciclones, pedir ao fornecedor as curvas de desempenho (curvas d_{50} vs vazão por ciclone para o modelo Stairmand HE) e então:
      • dimensionar N de modo que a vazão por ciclone dê o d_{50} desejado (se esse d_{50} estiver na faixa praticável do fabricante). Sem essas curvas não é possível dar um número seguro de unidades.

Resposta

O diâmetro de corte necessário (hipótese de corte perfeito) para capturar 86\% da massa é d_c \approx 1{,}39\\ \mu\mathrm{m}.\nNão é viável obter 86\% somente com ciclones Stairmand HE em condições industriais normais (um d_{50}\lesssim1{,}4\\ \mu\mathrm{m} está fora da capacidade prática); recomendação: usar ciclones como pré-separadores (retirar a fração grossa) e um coletor de alta eficiência (filtro de mangas ou ESP) para atingir a recuperação final \ge 86\%.

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