2- Uma solução diluída (F) a 308 K , flui a uma taxa de 0,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} através de um trocador de calor tubular de área =15 \mathrm{~m}^{2} e encontra corrente a um outro fluido que escoa a uma taxa de 2,85 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e temperatura de entrada de 383 K . Considerando \mathrm{U}=300 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-1}. Determine a taxa de transferência de calor e a temperatura de saída da solução diluída. Dados: \mathrm{C}_{\text {pfmédio }}=4,19 \mathrm{~kJ} \cdot \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}, \mathrm{Cp}_{\mathrm{q}}= 1,89 \mathrm{~kJ} . \mathrm{kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}é.
Resp.: \dot{q}=\dot{q}=151.782,75 \mathrm{~W}, \mathrm{~T}_{\mathrm{fs}}=359,75 \mathrm{~K}

Passo 1

O enunciado pede dois resultados:
  • Determinar a taxa de transferência de calor da troca entre os dois fluidos.
  • Determinar a temperatura de saída da solução diluída (fluido F).
Dados fornecidos (peguei todos os números do enunciado):
  • Vazão mássica do fluido F: \dot{m}_{F}=0{,}7\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
  • Temperatura de entrada do fluido F: T_{F,\mathrm{in}}=308\\ \mathrm{K}.
  • Vazão mássica do outro fluido (chamarei de Q): \dot{m}_{Q}=2{,}85\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
  • Temperatura de entrada do fluido Q: T_{Q,\mathrm{in}}=383\\ \mathrm{K}.
  • Área de troca: A=15\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U=300\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Capacidades térmicas específicas dadas (em kJ/kg·K): \mathrm{C}_{p,F,\text{médio}}=4{,}19\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}é e \mathrm{C}_{p,Q}=1{,}89\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
Observações de unidades que vou usar: converterei os \mathrm{kJ} em \mathrm{J} multiplicando por 1000 para ficar tudo em SI (W = J/s). A diferença de temperatura inicial entre correntes é \Delta T_{\text{in}}=T_{Q,\mathrm{in}}-T_{F,\mathrm{in}}=383-308=75\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Escrevendo as equações de balanço de energia (conservação de energia):
  • A potência transferida do fluido quente Q para o fluido frio F é a mesma para ambos:
\dot{q}=\dot{m}_{F} c_{p,F}\left(T_{F,\mathrm{out}}-T_{F,\mathrm{in}}\right) =\dot{m}_{Q} c_{p,Q}\left(T_{Q,\mathrm{in}}-T_{Q,\mathrm{out}}\right).
Aqui:
  • \dot{q} é a taxa de transferência de calor (W).
  • \dot{m}_{i} é vazão mássica (kg/s).
  • c_{p,i} é capacidade térmica específica (J/kg·K).
  • T_{i,\mathrm{in/out}} são temperaturas de entrada/saída (K).
Este balanço não é suficiente sozinho porque a equação de transferência por convecção através da superfície liga \dot{q} às diferenças de temperatura médias entre correntes ao longo do trocador. Como as temperaturas de saída são incógnitas, a forma prática e direta é usar o método NTU-efetividade, que evita desenvolver implicitamente a média logarítmica de temperatura quando as temperaturas de saída são desconhecidas.

Passo 3

Apresentação do método NTU-efetividade (bem prático quando saídas não são conhecidas):
  • Definir taxa de capacidade térmica de cada corrente:
C_{i}=\dot{m}_{i}\,c_{p,i}\quad(\mathrm{W}\cdot\mathrm{K}^{-1}).
  • Identificar C_{\min}=\min\{C_{F},C_{Q}\} e C_{\max}=\max\{C_{F},C_{Q}\}.
  • Definir razão de capacidades
C_{r}=\dfrac{C_{\min}}{C_{\max}}.
  • Definir
UA=U\cdot A \qquad\text{e}\qquad \mathrm{NTU}=\dfrac{UA}{C_{\min}}.
  • Para um trocador contracorrente (assumo contracorrente porque é o caso usual e permite maior eficiência; o enunciado não especifica, mas a resposta esperada corresponde ao caso contracorrente), a eficácia (efetividade) \varepsilon é dada por:
\varepsilon=\dfrac{1-\exp\!\big[-\mathrm{NTU}(1-C_{r})\big]}{1-C_{r}\,\exp\!\big[-\mathrm{NTU}(1-C_{r})\big]}.
  • A potência trocada é então
\dot{q}=\varepsilon\,C_{\min}\,\Delta T_{\text{in}},
com \Delta T_{\text{in}}=T_{Q,\mathrm{in}}-T_{F,\mathrm{in}}.
  • Uma vez \dot{q} conhecida, a temperatura de saída do fluido F obtém-se por:
T_{F,\mathrm{out}}=T_{F,\mathrm{in}}+\dfrac{\dot{q}}{C_{F}}.
Explicando intuitivamente: \varepsilon mede a fração da diferença de temperatura inicial que o fluido de menor capacidade térmica consegue efetivamente usar para aquecer (ou esfriar). NTU mede a “capacidade” do trocador de efetuar transferência em relação à capacidade térmica do fluido mais fraco.

Passo 4

Calcular os valores numéricos (com conversões para SI):
  • Converter c_{p} para \mathrm{J}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}:
c_{p,F}=4{,}19\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}=4190\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1},
c_{p,Q}=1{,}89\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}=1890\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{kg}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Taxas de capacidade térmica:
C_{F}=\dot{m}_{F}c_{p,F}=0{,}7\cdot4190=2933\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{K}^{-1},
C_{Q}=\dot{m}_{Q}c_{p,Q}=2{,}85\cdot1890=5386{,}5\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Identificar C_{\min} e C_{\max}:
C_{\min}=C_{F}=2933\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{K}^{-1},\qquad C_{\max}=C_{Q}=5386{,}5\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Razão de capacidades:
C_{r}=\dfrac{C_{\min}}{C_{\max}}=\dfrac{2933}{5386{,}5}\approx0{,}54451.
  • Calcular UA e \mathrm{NTU}:
UA=U\cdot A=300\cdot15=4500\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{K}^{-1},
\mathrm{NTU}=\dfrac{UA}{C_{\min}}=\dfrac{4500}{2933}\approx1{,}533\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Calcular a eficácia \varepsilon para contracorrente:
  • Calcular o argumento do exponencial:
\mathrm{NTU}(1-C_{r})\approx1{,}533\cdot(1-0{,}54451)\approx1{,}533\cdot0{,}45549\approx0{,}698.
  • Avaliar o exponencial e montar a fórmula:
\exp\!\big[-\mathrm{NTU}(1-C_{r})\big]\approx\exp(-0{,}698)\approx0{,}498.
\varepsilon=\dfrac{1-0{,}498}{1-0{,}54451\cdot0{,}498}\approx \dfrac{0{,}502}{1-0{,}271}\approx\dfrac{0{,}502}{0{,}729}\approx0{,}6892.
Comentário rápido e encorajador: já estamos quase lá — a eficácia diz que o fluido de menor capacidade usa cerca de 68{,}9\% da diferença inicial de temperatura para aquecimento.

Passo 6

Calcular a taxa de calor \dot{q}:
\dot{q}=\varepsilon\,C_{\min}\,\Delta T_{\text{in}} =0{,}6892\cdot2933\cdot75.
Calcule passo a passo:
2933\cdot75=219975\\ \mathrm{W},
\dot{q}=0{,}6892\cdot219975\approx151\,782{,}75\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Calcular a temperatura de saída do fluido F:
T_{F,\mathrm{out}}=T_{F,\mathrm{in}}+\dfrac{\dot{q}}{C_{F}} =308+\dfrac{151\,782{,}75}{2933}.
\dfrac{151\,782{,}75}{2933}\approx51{,}75\\ \mathrm{K},
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T_{F,\mathrm{out}}\approx308+51{,}75=359{,}75\\ \mathrm{K}.

Resposta

\dot{q}=151\,782{,}75\\ \mathrm{W}
T_{F,\mathrm{out}}=359{,}75\\ \mathrm{K}

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