Q5: Um determinado fenômeno físico é modelado pela função y=a x^{2}+b x. Alguns experimentos foram realizados com os seguintes resultados:
x y
-1 -4
0 1
1 12
Os valores de a e b de forma a obter o modelo que melhor aproxima os dados experimentais no sentido dos mínimos quadrados são:
(A) a=4, b=8
(B) a=2, b=4
(C) a=1, b=4
(D) a=2, b=8
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá o modelo \displaystyle y = a\,x^2 + b\,x e três pontos (x,y)=(-1,-4),(0,1),(1,12). Queremos ajustar a e b no sentido dos mínimos quadrados, isto é, minimizar a soma dos quadrados dos resíduos.

Passo 2

Montamos a matriz de projeto X cujas colunas são \varphi_1(x)=x^2 e \varphi_2(x)=x. Para os três pontos,
X = \begin{pmatrix} (-1)^2 & -1\\\\ 0^2 & 0 \\\\ 1^2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 0 & 0\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix},
e o vetor de respostas é \displaystyle \mathbf{y}=(-4,1,12)^T.

Passo 3

Escrevemos as equações normais \displaystyle X^T X\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} = X^T \mathbf{y}. Primeiro calculamos
X^T X = \begin{pmatrix} \sum x_i^4 & \sum x_i^3 \\\ \sum x_i^3 & \sum x_i^2 \end{pmatrix}.
Como \sum x_i^4 =1+0+1=2, \sum x_i^3=-1+0+1=0 e \sum x_i^2=1+0+1=2, obtemos
X^T X = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos X^T\mathbf{y}, cujas entradas são \sum x_i^2\,y_i e \sum x_i\,y_i. Temos
\sum x_i^2\,y_i = (1)(-4)+(0)(1)+(1)(12)=8,
\sum x_i\,y_i = (-1)(-4)+0\cdot1+(1)(12)=16.
Logo
X^T\mathbf{y}=\begin{pmatrix}8\\\ 16\end{pmatrix}.

Passo 5

Resolvendo
\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8\\\ 16\end{pmatrix}
vemos que a = 8/2 = 4 e b = 16/2 = 8.

Resposta

(A) a=4,\;b=8

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