Um determinado meio apresenta varepsilon=2 varepsilon0, mu=mu0 e sigma=2 cdot 10^-3[S / m]. Neste meio propaga-se uma onda eletromagnética que no plano z=0, apresenta um campo elétrico de 200[mV] e na frequência de 5[MHz]. Encontre o fator de atenuação e o fator de fase. Obter esse campo na forma instantânea utilizando os valores calculados. Encontrar a distância percorrida pela onda no ponto onde a amplitude do seu campo elétrico cair pela metade do seu valor inicial.

Passo 1

O enunciado dá um meio com
varepsilon=2varepsilon0, mu=mu0 e sigma=2times10^-3,S/m, e uma onda eletromagnética de frequência f=5,MHz cujo campo elétrico no plano z=0 tem amplitude E0=200,mV/m. Precisamos encontrar o fator de atenuação alpha e o fator de fase beta, escrever o campo elétrico instantâneo E(z,t) usando esses valores, e determinar a distância em que a amplitude cai a metade.

Passo 2

Para um meio com condutividade sigma a constante de propagação complexa é
gamma=alpha+jbeta=raizjomegamul(sigma+jomegavarepsilonr)
Em termos práticos usamos as fórmulas
alpha=omegaraizmuvarepsilonraiz2;raizraiz1+l(sigmaomegavarepsilonr)^2-1,
beta=omegaraizmuvarepsilonraiz2;raizraiz1+l(sigmaomegavarepsilonr)^2+1
Calculemos passo a passo:
A frequência angular é omega=2pi f=2picdot5times10^6,rad/s.
A permissividade do meio é varepsilon=2varepsilon0=2cdot8,854times10^-12,F/m.
O termo adimensional é
sigmaomegavarepsilon =2times10^-3(2picdot5times10^6)(2cdot8,854times10^-12) approx3,596
Logo
raiz1+(sigma/(omegavarepsilon))^2approx3,733.
Também raizmuvarepsilon=raizmu0varepsilon0cdot2=(raiz2/c)approx4,71times10^-9,s/m.
Substituindo, obtemos
alphaapprox0,173,Np/m, betaapprox0,228,rad/m

Passo 3

O campo elétrico instantâneo, considerando propagação no sentido positivo de z, é
E(z,t)=E0,e^-alpha zcosl(omega t-beta zr)
Substituindo E0=0,2,V/m, omega=2picdot5times10^6, alpha e beta calculados, fica
E(z,t)=0,2,e^-0,173,zcosl(2picdot5times10^6,t-0,228,zr) [V/m]

Passo 4

Para que a amplitude caia à metade, queremos
e^-alpha ztfrac12=tfrac12 Longrightarrow alpha,ztfrac12=ln2 Longrightarrow ztfrac12=ln2alpha
Logo
ztfrac12=0,69310,173approx4,0,m

Resposta

alpha approx 0,173,Np/m,\quad
beta approx 0,228,rad/m
Campo instant^aneo:
E(z,t) = 0,2,e^-0,173,z cosl(2pi cdot 5 times 10^6 , t - 0,228,zr) , V/m
Dist^ancia para metade da amplitude: ztfrac12 approx 4,0 , m

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