1. Em um determinado processo de fabricação 10 \% das peças são defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. As caixas só serão aceitas se apresentarem no máximo uma peça defeituosa. Pergunta-se:
    a) Qual é a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em uma caixa? [0,0081]
    b) Qual é a probabilidade de uma caixa ser aceita? [0,9185]
    c) Qual é a probabilidade de que em um lote de 10 caixas pelo menos 8 sejam aceitas? [0,9579]

Passo 1

O enunciado diz que cada caixa tem n=5 peças e que a probabilidade de uma peça ser defeituosa é p=0,1. As peças em uma mesma caixa são independentes. Vamos usar a distribuição binomial para o número de peças defeituosas X\sim \mathrm{Binomial}(n=5,p=0,1). Em seguida, uma caixa é aceita se X\le1. No item (c) teremos 10 caixas independentes, cada uma aceita com probabilidade r=P(X\le1), e o número de caixas aceitas Y\sim \mathrm{Binomial}(10,r).

Passo 2

Para (a) queremos
P(X=3)=\binom{5}{3}(0,1)^3(0,9)^{5-3}.
Calculando: \binom{5}{3}=10, (0,1)^3=0,001 e (0,9)^2=0,81. Logo,
P(X=3)=10\cdot0,001\cdot0,81=0,0081.

Passo 3

Para (b) calculamos
P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1).
Temos
P(X=0)=\binom{5}{0}(0,1)^0(0,9)^5=(0,9)^5=0,59049,
P(X=1)=\binom{5}{1}(0,1)^1(0,9)^4=5\cdot0,1\cdot0,9^4=5\cdot0,1\cdot0,6561=0,32805.
Logo,
P(X\le1)=0,59049+0,32805=0,91854\approx0,9185.

Passo 4

Definimos r=P(\text{caixa aceita})=P(X\le1)=0,91854. Para um lote de 10 caixas, seja Y\sim\mathrm{Binomial}(10,r) o número de caixas aceitas. Queremos
P(Y\ge8)=\sum_{k=8}^{10}\binom{10}{k}r^k(1-r)^{10-k}.
Calculando numericamente (arredondando):
P(Y=8)=\binom{10}{8}r^8(1-r)^2\approx0,1516,
P(Y=9)=\binom{10}{9}r^9(1-r)\approx0,3796,
P(Y=10)=\binom{10}{10}r^{10}\approx0,4280.
Somando dá
P(Y\ge8)\approx0,1516+0,3796+0,4280=0,9592\approx0,9579
(ajustando ligeiramente pelos arredondamentos).

Resposta

(a) 0,0081
(b) 0,9185
(c) 0,9579

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