Determinado produto é vendido numa loja por 1.120,00 a vista, ou em 5 prestações mensais de245,00 cada. Calcular o custo efetivo mensal admitindo que:
a primeira prestação vence ao final do 1^{\circ} mês;
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos: \; - Preço à vista: \;1120{,}00 (reais). \; - Parcelamento: 5 prestações mensais de \;245{,}00 cada, com a primeira prestação vencendo ao final do 1^{\circ} mês (ou seja, prestações nos meses 1, 2, 3, 4 e 5).
Pedido: calcular o custo efetivo mensal, ou seja, a taxa de juros mensal efetiva \;i que torna o valor presente das 5 prestações igual ao preço à vista.
Passo 2
Conceito que vamos usar (aula rápida e prática): valor presente de uma anuidade (prestações iguais pagas no final de cada período).
Definição e fórmula: \;R é o valor de cada prestação (aqui \;R=245). \;n é o número de prestações (aqui \;n=5). \;i é a taxa efetiva por período (o que queremos achar).
O valor presente PV de uma anuidade-imediata (pagamentos no final de cada mês) é dado por
PV = R\cdot a_{\overline{n}|i}
onde
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando a fórmula passo a passo: o valor presente de cada prestação k é R/(1+i)^k. Somando para k=1 até n dá uma soma geométrica que se simplifica para a expressão \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}. Isso é o fator de anuidade.
Passo 3
Montamos a equação igualando o valor presente das prestações ao preço à vista:
245\cdot \frac{1-(1+i)^{-5}}{i}=1120.
Dividindo ambos os lados por 245 para simplificar:
\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}=\frac{1120}{245}.
Calculo a fração do lado direito (simplificando por 35):
Observação sobre resolução: a equação acima não permite isolar i por manipulação algébrica simples (é equação transcendental). Então vamos resolver numericamente por tentativas controladas (método prático em prova: testar algumas taxas, estreitar intervalo e interpolar). Vou mostrar os testes e como ajustar até encontrar i com precisão razoável.
Passo 5
Faço avaliações do lado esquerdo a_{\overline{5}|i}=\dfrac{1-(1+i)^{-5}}{i} para algumas taxas para localizar a raiz.
a_{\overline{5}|0{,}04}=\frac{1-0{,}821927}{0{,}04}\approx 4{,}451825\quad(\text{agora menor que }4{,}5714).
Conclusão parcial: a taxa procurada i está entre 3\% e 4\%, mais perto de 3\% porque a_{\overline{5}|0{,}03}=4{,}5797 é só um pouco acima do alvo 4{,}5714286.
Passo 6
Aperto o intervalo testando i=0{,}032 (3,2% ao mês) para ter uma segunda referência próxima:
a_{\overline{5}|0{,}032}=\frac{1-0{,}854285}{0{,}032}\approx 4{,}55359\quad(\text{agora um pouco menor que }4{,}5714286).
Então a solução está entre i=0{,}03 (dá 4{,}5797072) e i=0{,}032 (dá 4{,}55359).
Passo 7
Estimo i por interpolação linear entre os pontos (0{,}03,\,4{,}5797072) e (0{,}032,\,4{,}553589). A aproximação por interpolação linear é prática e costuma ser muito boa quando a função é suave e o intervalo é pequeno.
Diferença de fator entre 3% e 3,2%:
\Delta a = 4{,}5797072 - 4{,}553589 \approx 0{,}0261182.
Quanto falta para o objetivo a partir do ponto 3%: