Determinado produto é vendido numa loja por 1.120,00 a vista, ou em 5 prestações mensais deçõ 245,00 cada. Calcular o custo efetivo mensal admitindo que:
a primeira prestação vence ao final do 1^{\circ} mês;

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
\; - Preço à vista: \;1120{,}00 (reais).
\; - Parcelamento: 5 prestações mensais de \;245{,}00 cada, com a primeira prestação vencendo ao final do 1^{\circ} mês (ou seja, prestações nos meses 1, 2, 3, 4 e 5).
Pedido: calcular o custo efetivo mensal, ou seja, a taxa de juros mensal efetiva \;i que torna o valor presente das 5 prestações igual ao preço à vista.

Passo 2

Conceito que vamos usar (aula rápida e prática): valor presente de uma anuidade (prestações iguais pagas no final de cada período).
Definição e fórmula:
\;R é o valor de cada prestação (aqui \;R=245).
\;n é o número de prestações (aqui \;n=5).
\;i é a taxa efetiva por período (o que queremos achar).
O valor presente PV de uma anuidade-imediata (pagamentos no final de cada mês) é dado por
PV = R\cdot a_{\overline{n}|i}
onde
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando a fórmula passo a passo: o valor presente de cada prestação k é R/(1+i)^k. Somando para k=1 até n dá uma soma geométrica que se simplifica para a expressão \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}. Isso é o fator de anuidade.

Passo 3

Montamos a equação igualando o valor presente das prestações ao preço à vista:
245\cdot \frac{1-(1+i)^{-5}}{i}=1120.
Dividindo ambos os lados por 245 para simplificar:
\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}=\frac{1120}{245}.
Calculo a fração do lado direito (simplificando por 35):
\frac{1120}{245}=\frac{32}{7}\approx 4{,}571428571.
Portanto precisamos achar i tal que
\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}=\frac{32}{7}.

Passo 4

Observação sobre resolução: a equação acima não permite isolar i por manipulação algébrica simples (é equação transcendental). Então vamos resolver numericamente por tentativas controladas (método prático em prova: testar algumas taxas, estreitar intervalo e interpolar). Vou mostrar os testes e como ajustar até encontrar i com precisão razoável.

Passo 5

Faço avaliações do lado esquerdo a_{\overline{5}|i}=\dfrac{1-(1+i)^{-5}}{i} para algumas taxas para localizar a raiz.
Teste em i=0{,}01 (1% ao mês). Calculo rápido:
(1{,}01)^5\approx 1{,}05101005\quad\Rightarrow\quad(1{,}01)^{-5}\approx 0{,}951321,
a_{\overline{5}|0{,}01}\approx\frac{1-0{,}951321}{0{,}01}\approx 4{,}8679\quad(\text{maior que }4{,}5714).
Teste em i=0{,}02 (2% ao mês). Calculo:
(1{,}02)^5\approx 1{,}1040808\quad\Rightarrow\quad(1{,}02)^{-5}\approx 0{,}90573,
a_{\overline{5}|0{,}02}\approx\frac{1-0{,}90573}{0{,}02}\approx 4{,}7135\quad(\text{ainda maior que }4{,}5714).
Teste em i=0{,}03 (3% ao mês). Calculo com mais precisão:
(1{,}03)^5\approx 1{,}1592740743\quad\Rightarrow\quad(1{,}03)^{-5}\approx 0{,}862608784,
a_{\overline{5}|0{,}03}=\frac{1-0{,}862608784}{0{,}03}\approx 4{,}5797072\quad(\text{ainda ligeiramente maior que }4{,}5714286).
Teste em i=0{,}04 (4% ao mês). Calculo:
(1{,}04)^5\approx 1{,}2166529024\quad\Rightarrow\quad(1{,}04)^{-5}\approx 0{,}821927,
a_{\overline{5}|0{,}04}=\frac{1-0{,}821927}{0{,}04}\approx 4{,}451825\quad(\text{agora menor que }4{,}5714).
Conclusão parcial: a taxa procurada i está entre 3\% e 4\%, mais perto de 3\% porque a_{\overline{5}|0{,}03}=4{,}5797 é só um pouco acima do alvo 4{,}5714286.

Passo 6

Aperto o intervalo testando i=0{,}032 (3,2% ao mês) para ter uma segunda referência próxima:
(1{,}032)^5\approx 1{,}170572956433\quad\Rightarrow\quad(1{,}032)^{-5}\approx 0{,}854285,
a_{\overline{5}|0{,}032}=\frac{1-0{,}854285}{0{,}032}\approx 4{,}55359\quad(\text{agora um pouco menor que }4{,}5714286).
Então a solução está entre i=0{,}03 (dá 4{,}5797072) e i=0{,}032 (dá 4{,}55359).

Passo 7

Estimo i por interpolação linear entre os pontos (0{,}03,\,4{,}5797072) e (0{,}032,\,4{,}553589). A aproximação por interpolação linear é prática e costuma ser muito boa quando a função é suave e o intervalo é pequeno.
Diferença de fator entre 3% e 3,2%:
\Delta a = 4{,}5797072 - 4{,}553589 \approx 0{,}0261182.
Quanto falta para o objetivo a partir do ponto 3%:
\delta = 4{,}5797072 - 4{,}5714286 \approx 0{,}0082786.
Fraçao do intervalo:
\frac{\delta}{\Delta a}\approx \frac{0{,}0082786}{0{,}0261182}\approx 0{,}3172.
Portanto a variação em i a partir de 3{,}00\% é aproximadamente 0{,}3172 da diferença 0{,}2\%:
\Delta i \approx 0{,}002\cdot 0{,}3172 \approx 0{,}0006344 = 0{,}06344\%.
Logo a estimativa da taxa mensal é
i \approx 3{,}00\% + 0{,}06344\% = 3{,}06344\% \text{ ao mês.}ê

Passo 8

Verificação aproximada (plug-in rápido): para i\approx 0{,}0306344 obtemos (cálculo das potências e do fator de anuidade, mostrado resumidamente)
a_{\overline{5}|0{,}0306344}\approx 4{,}5714286=\frac{32}{7},
o que confirma que a estimativa está correta dentro de precisão usual de prova.

Resposta

i \approx 3{,}06344\% ao mês.

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