Determinado produto é vendido numa loja por
cada. Calcular o custo efetivo mensal admitindo que:
a primeira prestação é paga como entrada (no momento inicial);
a primeira prestação é paga como entrada (no momento inicial);
Passo 1
O enunciado dá as duas formas de pagamento e pede o custo efetivo mensal quando a primeira prestação é paga como entrada (ou seja, no instante inicial). Lista clara das informações e do que se pede:
- Preço à vista:
. - Parcelamento:
prestações mensais de cada. - A primeira prestação é paga no momento inicial (entrada), portanto as prestações ocorrem nos instantes
(meses). - O que se pede: determinar a taxa de juros efetiva mensal
que faz com que o valor à vista seja equivalente ao conjunto das prestações (ou seja, o custo efetivo mensal do financiamento implícito nessa diferença).
Passo 2
Ideia e modelo matemático (explicação didática): quando comparamos pagar à vista com pagar em prestações, a maneira correta é comparar valores presentes no mesmo instante (aqui escolhemos o instante
). Cada prestação paga no tempo
tem valor presente obtido descontando-a pela taxa mensal
. Para organizar, definimos o fator de desconto
que significa “quanto vale hoje
real recebido daqui a um mês” (por exemplo, se
então
). O valor presente de uma prestação
paga no tempo
é
.
No nosso caso, as prestações são todas iguais (
) e ocorrem em
. Portanto o valor presente total das prestações (avaliado em
) é
Para que o comprador fique indiferente entre pagar à vista e parcelado, o
das prestações deve ser igual ao preço à vista
. Essa equação é a que vamos resolver para encontrar
.
Também precisamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica (aqui explico de leve): para
,
No nosso caso usamos a soma até
.
Passo 3
Escrevendo a equação de equivalência e simplificando os números:
Dividindo os dois lados por
(explico: isso reduz a conta e deixa só a soma das potências de
):
Calculando a razão numérica:
Portanto a equação fica
Usando a soma geométrica poderíamos escrever em forma fechada, mas aqui é mais direto resolver numericamente para
, depois obter
por
Passo 4
Resolver numericamente a equação para
. Vou fazer por tentativas e uma curta iteração (método de Newton simplificado na forma de ajustar
até obter a soma certa), mostrando passos para você poder reproduzir na prova se for necessário usar tentativa/ajuste.
Definimos a função
Queremos
.
Teste inicial:
.
Calcule as potências:
Calcule as potências:
Soma:
que é um pouco menor que
. Logo precisamos de
um pouco maior que
.
Teste
:
Portanto a raiz está entre
e
.
Fazemos uma interpolação/ajuste e depois refinamos com uma iteração curta de Newton. Uma interpolação linear rápida dá
. Refinando com um passo de Newton (ou apenas recalculando) obtemos a solução com boa precisão:
teste . Calcule as potências (aqui mostro os valores utilizados):
teste
Soma:
que difere do alvo apenas por cerca de
— ou seja, está praticamente exato para todas as finalidades práticas.
Passo 5
Calcular a taxa efetiva mensal
a partir de
. Lembrando
Com
obtemos
Convertendo em percentual temos a taxa efetiva mensal