Determinado produto é vendido numa loja por 1.120,00 a vista, ou em 5 prestações mensais deçõ 245,00 cada. Calcular o custo efetivo mensal admitindo que:
a primeira prestação é paga como entrada (no momento inicial);

Passo 1

O enunciado dá as duas formas de pagamento e pede o custo efetivo mensal quando a primeira prestação é paga como entrada (ou seja, no instante inicial). Lista clara das informações e do que se pede:
  • Preço à vista: \,1120.
  • Parcelamento: 5 prestações mensais de \,245 cada.
  • A primeira prestação é paga no momento inicial (entrada), portanto as prestações ocorrem nos instantes t=0,1,2,3,4 (meses).
  • O que se pede: determinar a taxa de juros efetiva mensal i que faz com que o valor à vista seja equivalente ao conjunto das prestações (ou seja, o custo efetivo mensal do financiamento implícito nessa diferença).

Passo 2

Ideia e modelo matemático (explicação didática): quando comparamos pagar à vista com pagar em prestações, a maneira correta é comparar valores presentes no mesmo instante (aqui escolhemos o instante t=0). Cada prestação paga no tempo t tem valor presente obtido descontando-a pela taxa mensal i. Para organizar, definimos o fator de desconto
v=\frac{1}{1+i},
que significa “quanto vale hoje 1 real recebido daqui a um mês” (por exemplo, se i=0{,}05 então v=\dfrac{1}{1{,}05}). O valor presente de uma prestação P paga no tempo t é P\cdot v^{t}.
No nosso caso, as prestações são todas iguais ( P=245) e ocorrem em t=0,1,2,3,4. Portanto o valor presente total das prestações (avaliado em t=0) é
PV = 245\bigl(1 + v + v^{2} + v^{3} + v^{4}\bigr).
Para que o comprador fique indiferente entre pagar à vista e parcelado, o PV das prestações deve ser igual ao preço à vista \,1120. Essa equação é a que vamos resolver para encontrar i.
Também precisamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica (aqui explico de leve): para v\neq 1,
1+v+v^{2}+\cdots+v^{n}=\frac{1-v^{\,n+1}}{1-v}.
No nosso caso usamos a soma até v^{4}.

Passo 3

Escrevendo a equação de equivalência e simplificando os números:
1120 = 245\bigl(1 + v + v^{2} + v^{3} + v^{4}\bigr).
Dividindo os dois lados por 245 (explico: isso reduz a conta e deixa só a soma das potências de v):
\frac{1120}{245} = 1 + v + v^{2} + v^{3} + v^{4}.
Calculando a razão numérica:
\frac{1120}{245}=\frac{1120/35}{245/35}=\frac{32}{7}\approx 4{,}5714285714.
Portanto a equação fica
1 + v + v^{2} + v^{3} + v^{4} = \frac{32}{7}.
Usando a soma geométrica poderíamos escrever em forma fechada, mas aqui é mais direto resolver numericamente para v, depois obter i por
i=\frac{1}{v}-1.

Passo 4

Resolver numericamente a equação para v. Vou fazer por tentativas e uma curta iteração (método de Newton simplificado na forma de ajustar v até obter a soma certa), mostrando passos para você poder reproduzir na prova se for necessário usar tentativa/ajuste.
Definimos a função
S(v)=1+v+v^{2}+v^{3}+v^{4}.
Queremos S(v)=\dfrac{32}{7}\approx 4{,}5714285714.
Teste inicial: v=0{,}95.
Calcule as potências:
v^{2}=0{,}912025,\quad v^{3}=0{,}870983875,\quad v^{4}=0{,}831789601.
Soma:
S(0{,}95)=1+0{,}95+0{,}912025+0{,}870983875+0{,}831789601\approx 4{,}569798476,
que é um pouco menor que 4{,}5714285714. Logo precisamos de v um pouco maior que 0{,}95.
Teste v=0{,}956:
S(0{,}956)\approx 4{,}578131\quad(\text{maior que }4{,}57142857).
Portanto a raiz está entre 0{,}95 e 0{,}956.
Fazemos uma interpolação/ajuste e depois refinamos com uma iteração curta de Newton. Uma interpolação linear rápida dá v\approx 0{,}95525. Refinando com um passo de Newton (ou apenas recalculando) obtemos a solução com boa precisão:
teste v=0{,}9551785. Calcule as potências (aqui mostro os valores utilizados):
v=0{,}9551785,\quad v^{2}\approx 0{,}9123658,\quad v^{3}\approx 0{,}8714722,\quad v^{4}\approx 0{,}8324116.
Soma:
S(0{,}9551785)\approx 1+0{,}9551785+0{,}9123658+0{,}8714722+0{,}8324116\approx 4{,}57142814,
que difere do alvo apenas por cerca de 4\times 10^{-7} — ou seja, está praticamente exato para todas as finalidades práticas.

Passo 5

Calcular a taxa efetiva mensal i a partir de v. Lembrando
v=\frac{1}{1+i}\quad\Rightarrow\quad i=\frac{1}{v}-1.
Com v\approx 0{,}9551785 obtemos
i\approx \frac{1}{0{,}9551785}-1\approx 0{,}0469244.
Convertendo em percentual temos a taxa efetiva mensal
i\approx 0{,}0469244\quad\text{ou}\quad 4{,}69244\%\\ \text{ao mês}.ê

Resposta

4{,}6924\% ao mês (aproximadamente)

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