Determinante 2 \times 2 e 3 \times 3
Calcule os determinantes:
\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc} 5 & -1 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right], \quad \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 \\\\ 2 & -2 & 4 \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois determinantes. As informações dadas são as duas matrizes cujos determinantes devemos encontrar:
\text{(i)}\quad \det\begin{bmatrix}5 & -1 \\[4pt] 2 & 3\end{bmatrix}, \qquad \text{(ii)}\quad \det\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\[4pt] -1 & 3 & 1 \\[4pt] 2 & -2 & 4\end{bmatrix}.
Nenhuma outra informação é necessária — só as entradas das matrizes acima.]

Passo 2

Vamos aprender a calcular determinante de uma matriz 2\times2. Se tivermos a matriz
A=\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix},
a fórmula do determinante é
\det(A)=ad-bc.
O que isso significa: multiplicamos os elementos da diagonal principal ( a e d) e subtraímos o produto dos elementos da outra diagonal ( b e c). Cada letra representa uma entrada da matriz: a é o elemento da linha 1 coluna 1, b é linha 1 coluna 2, e assim por diante. Exemplo simples: para \begin{bmatrix}2&3\\\ 1&4\end{bmatrix} temos \det=2\cdot4-3\cdot1=8-3=5.
Agora aplicamos isso ao caso (i). Identificando as entradas:
a=5,\quad b=-1,\quad c=2,\quad d=3.
Calculamos passo a passo:
ad = 5\cdot 3 = 15,
bc = (-1)\cdot 2 = -2,
\det = ad - bc = 15 - (-2) = 15 + 2 = 17.]

Passo 3

Para matrizes 3\times3 uma técnica simples e prática (muito usada em provas) é a regra de Sarrus. Dada a matriz
B=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix},
escrevemos as duas primeiras colunas à direita e depois somamos os produtos das três diagonais que “descem” e subtraímos a soma dos produtos das três diagonais que “sobem”. Formalmente:
\det(B) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}).
Cada termo é apenas um produto de três entradas específicas; eu vou mostrar detalhe para evitar confusão.
Identificamos as entradas da matriz do item (ii):
a_{11}=1,\; a_{12}=0,\; a_{13}=2,
a_{21}=-1,\; a_{22}=3,\; a_{23}=1,
a_{31}=2,\; a_{32}=-2,\; a_{33}=4.
Calculemos os três produtos da soma à esquerda (diagonais descendentes):
a_{11}a_{22}a_{33} = 1\cdot 3\cdot 4 = 12,
a_{12}a_{23}a_{31} = 0\cdot 1\cdot 2 = 0,
a_{13}a_{21}a_{32} = 2\cdot(-1)\cdot(-2) = 2\cdot 2 = 4.
Somando esses três termos:
\text{soma\_desc} = 12 + 0 + 4 = 16.
Agora os três produtos da soma à direita (diagonais ascendentes):
a_{13}a_{22}a_{31} = 2\cdot 3\cdot 2 = 12,
a_{11}a_{23}a_{32} = 1\cdot 1\cdot(-2) = -2,
a_{12}a_{21}a_{33} = 0\cdot(-1)\cdot 4 = 0.
Somando esses:
\text{soma\_asc} = 12 + (-2) + 0 = 10.
Por fim, aplicamos a regra:
\det(B) = \text{soma\_desc} - \text{soma\_asc} = 16 - 10 = 6.]

Passo 4

Resumo rápido do raciocínio para a prova: para 2\times2 use sempre \det= diagonal principal menos a outra diagonal; para 3\times3 Sarrus é rápido e seguro (se souber organizar bem os termos). Se a matriz tiver uma linha ou coluna com muitos zeros, também vale usar expansão por cofatores, mas Sarrus costuma ser o mais direto para 3\times3.
Força aí — você já conseguiu entender e executar os passos. Se quiser, eu repito a técnica com outra matriz para treinar mais um pouco.

Resposta

\det\begin{bmatrix}5 & -1 \\[4pt] 2 & 3\end{bmatrix} = 17
\det\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\[4pt] -1 & 3 & 1 \\[4pt] 2 & -2 & 4\end{bmatrix} = 6]

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