Operações com matrizes
Dadas as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\\\ 0 & 3 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 4 \\\\ -2 & 5 \end{array}\right]
calcule:
A B e B A (compare os resultados).

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix}
e pede para calcular A B e B A e comparar os resultados.
Informações relevantes: as duas matrizes são 2\times2. As operações pedidas são produtos matrizes A B e B A.]

Passo 2

Lembrete útil (fórmula): se A=(a_{ij}) é m\times n e B=(b_{ij}) é n\times p, então o produto C=AB existe e é m\times p com entradas dadas por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}.
Aqui c_{ij} é o elemento da linha i e coluna j da matriz resultado; a_{ik} vem da linha i de A e b_{kj} vem da coluna j de B. Em palavras: multiplica-se a linha i de A pela coluna j de B e soma-se os produtos.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: como A e B são 2\times2, o produto AB será 2\times2 e cada entrada é a soma de dois produtos (pois n=2). Vou calcular cada entrada de AB seguindo a fórmula (AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}.

Passo 4

Cálculo de (AB)_{11} (linha 1 de A vezes coluna 1 de B):
(AB)_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=2\cdot 1 + (-1)\cdot(-2).
Calcule passo a passo: 2\cdot 1=2 e (-1)\cdot(-2)=2. Somando: 2+2=4. Logo (AB)_{11}=4.

Passo 5

Cálculo de (AB)_{12} (linha 1 de A vezes coluna 2 de B):
(AB)_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}=2\cdot 4 + (-1)\cdot 5.
Passo a passo: 2\cdot 4=8 e (-1)\cdot 5=-5. Somando: 8+(-5)=3. Logo (AB)_{12}=3.

Passo 6

Cálculo de (AB)_{21} (linha 2 de A vezes coluna 1 de B):
(AB)_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}=0\cdot 1 + 3\cdot(-2).
Passo a passo: 0\cdot 1=0 e 3\cdot(-2)=-6. Somando: 0+(-6)=-6. Logo (AB)_{21}=-6.

Passo 7

Cálculo de (AB)_{22} (linha 2 de A vezes coluna 2 de B):
(AB)_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}=0\cdot 4 + 3\cdot 5.
Passo a passo: 0\cdot 4=0 e 3\cdot 5=15. Somando: 0+15=15. Logo (AB)_{22}=15.

Passo 8

Resultado final de AB: juntando as entradas calculadas,
AB=\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]-6 & 15\end{pmatrix}.]

Passo 9

Agora calculamos BA. Mesma ideia: BA também será 2\times2 e (BA)_{ij}=b_{i1}a_{1j}+b_{i2}a_{2j}. Vamos entrada a entrada.

Passo 10

Cálculo de (BA)_{11} (linha 1 de B vezes coluna 1 de A):
(BA)_{11}=b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}=1\cdot 2 + 4\cdot 0.
Passo a passo: 1\cdot 2=2 e 4\cdot 0=0. Soma: 2+0=2. Logo (BA)_{11}=2.

Passo 11

Cálculo de (BA)_{12} (linha 1 de B vezes coluna 2 de A):
(BA)_{12}=b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}=1\cdot(-1) + 4\cdot 3.
Passo a passo: 1\cdot(-1)=-1 e 4\cdot 3=12. Soma: -1+12=11. Logo (BA)_{12}=11.

Passo 12

Cálculo de (BA)_{21} (linha 2 de B vezes coluna 1 de A):
(BA)_{21}=b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21}=(-2)\cdot 2 + 5\cdot 0.
Passo a passo: (-2)\cdot 2=-4 e 5\cdot 0=0. Soma: -4+0=-4. Logo (BA)_{21}=-4.

Passo 13

Cálculo de (BA)_{22} (linha 2 de B vezes coluna 2 de A):
(BA)_{22}=b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}=(-2)\cdot(-1) + 5\cdot 3.
Passo a passo: (-2)\cdot(-1)=2 e 5\cdot 3=15. Soma: 2+15=17. Logo (BA)_{22}=17.

Passo 14

Resultado final de BA: juntando as entradas calculadas,
BA=\begin{pmatrix}2 & 11\\[4pt]-4 & 17\end{pmatrix}.]

Passo 15

Comparação e conclusão: vemos que
AB=\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]-6 & 15\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad BA=\begin{pmatrix}2 & 11\\[4pt]-4 & 17\end{pmatrix}.
As duas matrizes são diferentes (por exemplo, (AB)_{11}=4\neq 2=(BA)_{11}). Isso mostra que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa: AB\neq BA na maioria dos casos. Você foi bem! Prática rápida: para qualquer produto de duas matrizes pense sempre em “linha vezes coluna” e calcule entrada a entrada com calma.]

Resposta

AB=\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]-6 & 15\end{pmatrix}
BA=\begin{pmatrix}2 & 11\\[4pt]-4 & 17\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados