Determinar a altura útil e a área de aço de uma viga de concreto armado considerando:
Concreto C70, aço CA-50, b
(=60 \mathrm{~cm}), cobrimento
(=3,0 \mathrm{~cm}, \phi_{t,est}=10 \mathrm{~mm}, \phi_{\ell, est}= 20 m m, \mathrm{Mk}=415 \mathrm{kN} . \mathrm{m}, \gamma_{c}=\gamma_{f}=1,4, \gamma_{s}=1,15), dimensionada com \beta \mathrm{x}=\beta \times 23.

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece e o que precisa ser determinado.
Dados fornecidos:
  • Concreto: C70.
  • Aço: CA\text{-}50.
  • Largura da viga: b=60\\ \mathrm{cm}.
  • Cobrimento: c=3{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro estimado das barras de tração: \phi_{\text{t,est}}=10\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro estimado da armação (estribo / armadura que fica entre o cobrimento e as barras): \phi_{\ell,\text{est}}=20\\ \mathrm{mm}.
  • Momento de projeto (momento solicitante): M_k = 415\\ \mathrm{kN\cdot m}.
  • Coeficientes de segurança: \gamma_c=\gamma_f=1{,}4, \gamma_s=1{,}15.
  • Texto ambíguo: "dimensionada com \beta x=\beta\times 23".
    Interpretação assumida (explicada a seguir): vou assumir que o projeto fez referência a uma altura total h=23\\ \mathrm{cm} (essa leitura é coerente com a expressão “×23” como uma dimensão em cm). Como o enunciado não dá outra altura, esta hipótese será adotada para obter a altura útil e a área de aço pedidas. Se a intenção fosse outra, o resultado muda.
O que se pede:
  • Determinar a altura útil d da viga (distância da fibra comprimida externa até o centro das barras de tração).
  • Determinar a área de aço necessária A_s.
Observações/assunções que vou usar (explicito para não deixar nada oculto):
  1. Para C70 tomo \,f_{ck}=70\\ \mathrm{MPa}.
  2. Para CA\text{-}50 tomo \,f_{yk}=500\\ \mathrm{MPa}.
  3. Utilizo as resistências de projeto: f_{cd}=\frac{f_{ck}}{\gamma_c},\qquad f_{yd}=\frac{f_{yk}}{\gamma_s}.
  4. Para calcular d uso a relação geométrica usual: d = h - c - \phi_{\ell,\text{est}} - \frac{\phi_{\text{t,est}}}{2},em que c é o cobrimento até o estribo, \phi_{\ell,\text{est}} é o diâmetro do estribo (ou da barra de proteção imediata) e \phi_{\text{t,est}} é o diâmetro da barra de tração (metade para o centro).
  5. Para o cálculo resistente do momento uso o bloco de esforços retangular equivalente (modelo clássico para seção retangular singly-armada):
    • Força compressiva equivalente: C=0{,}85\,f_{cd}\,b\,x, com x altura neutra.
    • Força de tração: T=A_s\,f_{yd}.
    • Equilíbrio: C=T.
    • Momento resistente: M = C \cdot z = 0{,}85 f_{cd} b \bigl(d x - 0{,}4 x^2\bigr), com z=d-0{,}4x. Desta equação resolvo x e depois obtenho A_s.
  6. Unidades: trabalho sempre em metros, Newtons e Pascal (SI). Converterei para cm e cm² no final, que é o pedido.

Passo 2

Cálculo das resistências de projeto e explicação rápida do porquê.
Por que dividir pelos \gamma? Porque \gamma_c e \gamma_s são os fatores de segurança materiais; para dimensionamento usa-se a resistência de cálculo (menor que a resistência característica).
Cálculos:
f_{cd}=\frac{f_{ck}}{\gamma_c}=\frac{70\\ \mathrm{MPa}}{1{,}4}=50\\ \mathrm{MPa}.
f_{yd}=\frac{f_{yk}}{\gamma_s}=\frac{500\\ \mathrm{MPa}}{1{,}15}\approx 434{,}7826\\ \mathrm{MPa}.
Em unidades do SI (para usar em fórmulas com M em \mathrm{N\cdot m} e dimensões em \mathrm{m}):
f_{cd}=50\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^2},\qquad f_{yd}=434{,}7826\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^2}.

Passo 3

Determinar a altura útil d a partir da hipótese h=23\\ \mathrm{cm}.
Explicação: a altura útil é a distância entre a face comprimida externa e o centro das barras de tração. Tomando as peças geométricas (cobrimento até estribo, diâmetro do estribo e meia bitola da barra), a fórmula já dada no Passo 1 é:
d = h - c - \phi_{\ell,\text{est}} - \frac{\phi_{\text{t,est}}}{2}.
Converter tudo para centímetros e depois para metros para os cálculos:
h=23\\ \mathrm{cm},\quad c=3{,}0\\ \mathrm{cm},\quad \phi_{\ell,\text{est}}=20\\ \mathrm{mm}=2{,}0\\ \mathrm{cm}, \quad \phi_{\text{t,est}}=10\\ \mathrm{mm}=1{,}0\\ \mathrm{cm}.
Logo:
d = 23 - 3{,}0 - 2{,}0 - \frac{1{,}0}{2}=23 - 3 - 2 - 0{,}5 = 17{,}5\\ \mathrm{cm}.
Em metros:
d = 0{,}175\\ \mathrm{m}.
Comentário: se a hipótese h=23\\ \mathrm{cm} estiver incorreta, a fórmula acima mostra como recalcular d imediatamente substituindo o valor correto de h.

Passo 4

Montar a equação de equilíbrio de momento para encontrar a posição da linha neutra x e, em seguida, calcular a área de aço A_s.
Explicação do modelo: para seção retangular singly-armada (apenas armadura de tração útil), usa-se o bloco retangular equivalente cuja intensidade é 0{,}85\,f_{cd} aplicada numa profundidade x. O braço de alavanca entre a resultante de compressão e a resultante de tração é z=d-0{,}4x. Assim:
M = 0{,}85\,f_{cd}\,b\bigl(d x - 0{,}4 x^2\bigr).
Colocando os valores conhecidos (usar M em \mathrm{N\cdot m}, b e d em \mathrm{m}, f_{cd} em \mathrm{N/m^2}):
M = 415\\ \mathrm{kN\cdot m}=415\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m},
b=60\\ \mathrm{cm}=0{,}60\\ \mathrm{m},
d=0{,}175\\ \mathrm{m},
f_{cd}=50\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^2}.
Defino o coeficiente
K = 0{,}85\,f_{cd}\,b = 0{,}85\cdot 50\times10^{6}\cdot 0{,}60.
Calculo numérico:
K = 0{,}85\cdot50\cdot10^{6}\cdot0{,}60 = 25{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{N/m}.
A equação a resolver (em x, em metros) é:
M = K\bigl(d x - 0{,}4 x^2\bigr).
Colocando M/K:
\frac{M}{K} = d x - 0{,}4 x^2.
Substituindo números:
\frac{415\times10^{3}}{25{,}5\times10^{6}} \approx 0{,}0162745\\ \mathrm{m^2}.
A equação quadrática fica:
-0{,}4 x^2 + d x - \frac{M}{K} = 0.
Ou, escrevendo com coeficientes:
0{,}4 x^2 - d x + \frac{M}{K} = 0.
Com d=0{,}175\\ \mathrm{m}, temos
0{,}4 x^2 - 0{,}175 x + 0{,}0162745 = 0.
Resolvo pela fórmula quadrática:
x = \frac{d \pm \sqrt{d^2 - 4\cdot0{,}4\cdot\frac{M}{K}}}{2\cdot0{,}4}.
Calculemos o discriminante:
d^2 = (0{,}175)^2 = 0{,}030625,
4\cdot0{,}4\cdot\frac{M}{K} = 1{,}6\cdot 0{,}0162745 = 0{,}0260392,
\Delta = d^2 - 1{,}6\cdot\frac{M}{K} = 0{,}030625 - 0{,}0260392 = 0{,}0045858.
\sqrt{\Delta} \approx 0{,}06772.
Portanto as duas raízes são:
x_1 = \frac{0{,}175 - 0{,}06772}{0{,}8} \approx 0{,}1341\\ \mathrm{m},
x_2 = \frac{0{,}175 + 0{,}06772}{0{,}8} \approx 0{,}3034\\ \mathrm{m}.
Interpretação física: a profundidade da linha neutra x deve ser menor que d (caso contrário a hipótese de viga singly-armada deixa de ser válida). Portanto tomamos
x = 0{,}1341\\ \mathrm{m} = 13{,}41\\ \mathrm{cm}.
Agora o braço interno:
z = d - 0{,}4 x = 0{,}175 - 0{,}4\cdot0{,}1341 \approx 0{,}12136\\ \mathrm{m}.
A área de aço necessária vem da força de tração T equilibrando a compressão:
A_s = \frac{M}{f_{yd}\,z}.
Substituindo números:
f_{yd}=434{,}7826\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^2},\quad z\approx 0{,}12136\\ \mathrm{m},
A_s = \frac{415\times10^{3}}{434{,}7826\times10^{6}\cdot 0{,}12136}.
Cálculo numérico:
A_s \approx 0{,}007867\\ \mathrm{m^2}.
Convertendo para \mathrm{cm^2}:
A_s \approx 0{,}007867\\ \mathrm{m^2}\times 10^{4} = 78{,}67\\ \mathrm{cm^2}.
Verificação via equilíbrio de forças (opcional) — dá essencialmente o mesmo valor:
A_s=\frac{0{,}85 f_{cd} b x}{f_{yd}} \Rightarrow A_s \approx 78{,}73\\ \mathrm{cm^2}
(pequena diferença por arredondamento; mantemos 78{,}7\\ \mathrm{cm^2} como valor prático).

Passo 5

Interpretação prática e observações (não altera os resultados numéricos, mas é importante para a prova e projeto).
  • Área de aço encontrada A_s\approx 78{,}7\\ \mathrm{cm^2} é extremamente alta para uma viga com seção b\times h de 60\times 23\\ \mathrm{cm}: essa área corresponde a uma percentagem de armadura em relação à seção útil muito grande: \rho=\frac{A_s}{b\,d}=\frac{0{,}007867}{0{,}60\cdot0{,}175}\approx 0{,}0749\\ (\text{ou }7{,}49\%),valor praticamente inviável (normas limitam \rho bem abaixo disso, tipicamente < 4% e, na prática, muito menos).
  • Traduzindo para número de barras de \varphi=10\\ \mathrm{mm} (área por barra =\pi\varphi^2/4\approx78{,}54\\ \mathrm{mm^2}=0{,}7854\\ \mathrm{cm^2}): \text{nº de barras } \approx \frac{78{,}7}{0{,}7854}\approx 100\\ \text{barras de }10\\ \mathrm{mm},ºclaramente impraticável.
  • Conclusão prática: com a hipótese h=23\\ \mathrm{cm} a viga é insuficiente para resistir ao momento 415\\ \mathrm{kN\cdot m} sem uma armadura irrealista. Para um projeto real deve-se:
    1. Aumentar a altura total h (portanto aumentar d); ou
    2. Aumentar a largura b; ou
    3. Empregar seção composta/placa/duas camadas de barras; ou
    4. Reduzir solicitantes, se for possível.
Se for útil para a prova, posso calcular rapidamente qual altura útil d aproximada seria necessária para, por exemplo, limitar a armadura a um valor realista (ex.: \rho=2{,}5\% ou A_s\approx 0{,}025\cdot b d), mas isso foge do enunciado original: aqui calculei d a partir da hipótese h=23\\ \mathrm{cm} e a correspondente A_s.

Resposta

d=17{,}5\\ \mathrm{cm}
A_s\approx 78{,}7\\ \mathrm{cm^2}

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