Determinar a altura útil e a área de aço de uma viga de concreto armado considerando:
Concreto C70, aço CA-50, b
(=60 \mathrm{~cm}), cobrimento
(=3,0 \mathrm{~cm}, \phi_{t,est}=10 \mathrm{~mm}, \phi_{\ell, est}= 20 m m, \mathrm{Mk}=415 \mathrm{kN} . \mathrm{m}, \gamma_{c}=\gamma_{f}=1,4, \gamma_{s}=1,15), dimensionada com
.
Concreto C70, aço CA-50, b
(=60 \mathrm{~cm}), cobrimento
(=3,0 \mathrm{~cm}, \phi_{t,est}=10 \mathrm{~mm}, \phi_{\ell, est}= 20 m m, \mathrm{Mk}=415 \mathrm{kN} . \mathrm{m}, \gamma_{c}=\gamma_{f}=1,4, \gamma_{s}=1,15), dimensionada com
Passo 1
Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece e o que precisa ser determinado.
Dados fornecidos:
- Concreto:
. - Aço:
. - Largura da viga:
. - Cobrimento:
. - Diâmetro estimado das barras de tração:
. - Diâmetro estimado da armação (estribo / armadura que fica entre o cobrimento e as barras):
. - Momento de projeto (momento solicitante):
. - Coeficientes de segurança:
, . - Texto ambíguo: "dimensionada com
".
Interpretação assumida (explicada a seguir): vou assumir que o projeto fez referência a uma altura total(essa leitura é coerente com a expressão “×23” como uma dimensão em cm). Como o enunciado não dá outra altura, esta hipótese será adotada para obter a altura útil e a área de aço pedidas. Se a intenção fosse outra, o resultado muda.
O que se pede:
- Determinar a altura útil
da viga (distância da fibra comprimida externa até o centro das barras de tração). - Determinar a área de aço necessária
.
Observações/assunções que vou usar (explicito para não deixar nada oculto):
- Para
tomo . - Para
tomo . - Utilizo as resistências de projeto:
- Para calcular
uso a relação geométrica usual: em que é o cobrimento até o estribo, é o diâmetro do estribo (ou da barra de proteção imediata) e é o diâmetro da barra de tração (metade para o centro). - Para o cálculo resistente do momento uso o bloco de esforços retangular equivalente (modelo clássico para seção retangular singly-armada):
- Força compressiva equivalente:
, com altura neutra. - Força de tração:
. - Equilíbrio:
. - Momento resistente:
, com . Desta equação resolvo e depois obtenho .
- Força compressiva equivalente:
- Unidades: trabalho sempre em metros, Newtons e Pascal (SI). Converterei para cm e cm² no final, que é o pedido.
Passo 2
Cálculo das resistências de projeto e explicação rápida do porquê.
Por que dividir pelos
? Porque
e
são os fatores de segurança materiais; para dimensionamento usa-se a resistência de cálculo (menor que a resistência característica).
Cálculos:
Em unidades do SI (para usar em fórmulas com
em
e dimensões em
):
Passo 3
Determinar a altura útil
a partir da hipótese
.
Explicação: a altura útil é a distância entre a face comprimida externa e o centro das barras de tração. Tomando as peças geométricas (cobrimento até estribo, diâmetro do estribo e meia bitola da barra), a fórmula já dada no Passo 1 é:
Converter tudo para centímetros e depois para metros para os cálculos:
Logo:
Em metros:
Comentário: se a hipótese
estiver incorreta, a fórmula acima mostra como recalcular
imediatamente substituindo o valor correto de
.
Passo 4
Montar a equação de equilíbrio de momento para encontrar a posição da linha neutra
e, em seguida, calcular a área de aço
.
Explicação do modelo: para seção retangular singly-armada (apenas armadura de tração útil), usa-se o bloco retangular equivalente cuja intensidade é
aplicada numa profundidade
. O braço de alavanca entre a resultante de compressão e a resultante de tração é
. Assim:
Colocando os valores conhecidos (usar
em
,
e
em
,
em
):
Defino o coeficiente
Calculo numérico:
A equação a resolver (em
, em metros) é:
Colocando
:
Substituindo números:
A equação quadrática fica:
Ou, escrevendo com coeficientes:
Com
, temos
Resolvo pela fórmula quadrática:
Calculemos o discriminante:
Portanto as duas raízes são:
Interpretação física: a profundidade da linha neutra
deve ser menor que
(caso contrário a hipótese de viga singly-armada deixa de ser válida). Portanto tomamos
Agora o braço interno:
A área de aço necessária vem da força de tração
equilibrando a compressão:
Substituindo números:
Cálculo numérico:
Convertendo para
:
Verificação via equilíbrio de forças (opcional) — dá essencialmente o mesmo valor:
(pequena diferença por arredondamento; mantemos
como valor prático).
Passo 5
Interpretação prática e observações (não altera os resultados numéricos, mas é importante para a prova e projeto).
- Área de aço encontrada
é extremamente alta para uma viga com seção de : essa área corresponde a uma percentagem de armadura em relação à seção útil muito grande: valor praticamente inviável (normas limitam bem abaixo disso, tipicamente < 4% e, na prática, muito menos). - Traduzindo para número de barras de
(área por barra ): claramente impraticável. - Conclusão prática: com a hipótese
a viga é insuficiente para resistir ao momento sem uma armadura irrealista. Para um projeto real deve-se: - Aumentar a altura total
(portanto aumentar ); ou - Aumentar a largura
; ou - Empregar seção composta/placa/duas camadas de barras; ou
- Reduzir solicitantes, se for possível.
- Aumentar a altura total
Se for útil para a prova, posso calcular rapidamente qual altura útil
aproximada seria necessária para, por exemplo, limitar a armadura a um valor realista (ex.:
ou
), mas isso foge do enunciado original: aqui calculei
a partir da hipótese
e a correspondente
.